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等差型の漸化式
同じ数を足して進む
aₙ₊₁=aₙ+d は、前の項にいつも同じ数dを足す漸化式です。等差数列の「差が一定」という性質を、前の項から次の項を作るルールとして書いた形です。
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定義
等差型の漸化式
- 教科書では
- aₙ₊₁=aₙ+d のように、前の項に一定の数を足して次の項を作る漸化式です。
- 言いかえると
- 初項から第n項へ進むまで、足し算の矢印はn-1本あります。だから一般項では、dをn-1回足す形になります。第1項ではまだ移動していない、という見方が大切です。
公式
等差型の一般項
前の項にdを足す形なら使えます。dは公差で、毎回変わらない足し算です。
漸化式
an+1=an+d
隣り合う項の差がいつもdであることを表します。前の項が分かれば、次の項はdを足してすぐ求められます。
- d公差
使うときのコツ
dは毎回同じです。
一般項
an=a1+(n-1)d
初項a₁にdをn-1回足します。第n項までに何本の矢印を進んだかを数えた式です。
使うときのコツ
n=1でa₁に戻ります。
解くコツ
初項、足す数、足す回数を分けて書きます。最後にn=1を代入し、初項へ戻るか確認すると安全です。
比較
| 見るもの | 意味 |
|---|---|
| 項の個数n | a₁からaₙまでに項はn個ある |
| 矢印の本数n-1 | 初項から第n項までにdを足す回数 |
| n=1の場合 | まだ移動していないのでdは0回 |
見るもの項の個数n
- 意味
- a₁からaₙまでに項はn個ある
見るもの矢印の本数n-1
- 意味
- 初項から第n項までにdを足す回数
見るものn=1の場合
- 意味
- まだ移動していないのでdは0回
一般項のn-1は、項の個数ではなく、初項から何回進んだかを表します。
要点
見る順番
式の形から、等差数列として読めるかを確認します。aₙ₊₁-aₙがいつも同じ数なら、公差が一定の等差型です。
- 1
aₙ₊₁=aₙ+d の形を探す
- 2
初項a₁を確認する
- 3
足す数dを読む
- 4
第n項まではn-1回足す
例
- 場面
- a₁=5, aₙ₊₁=aₙ+4 の一般項を求める。
- 順に考えると
- 前の項に4を足すので、公差は4です。第1項から第n項までは、1→2、2→3、...とn-1回進みます。したがってaₙ=5+4(n-1)=4n+1です。
- ここが結論
- 一般項は aₙ=4n+1 です。n=1を入れると5になり、初項と一致します。
注意
dをn回足さない
確認
確認テスト
Q1
a₁=2, aₙ₊₁=aₙ+5 の一般項はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
aₙ₊₁=aₙ+d は等差型
- 2
dは毎回足す数
- 3
第n項までの移動はn-1回
- 4
n=1で初項に戻るか確認する
- 5
一般項はa₁+(n-1)d
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