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漸化式で予想し帰納法で確かめる
予想を証明へつなげる
漸化式から項を並べると、一般項を予想できることがあります。ただし予想だけでは証明ではありません。初期条件と更新ルールの両方に合うことを、数学的帰納法で確かめます。
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定義
予想と証明
- 教科書では
- いくつかの項から見つけた式を予想といい、すべての自然数で成り立つ理由を示すことを証明といいます。
- 言いかえると
- 最初の数項に合う式でも、途中で外れる可能性があります。漸化式と初期条件に合うことを帰納法で示すと、すべての項で正しいといえます。予想は入口、証明は全体へ広げる仕上げです。
手順
進め方
- 1
漸化式から最初の項を並べる
- 2
一般項の形を予想する
- 3
n=1で予想式を確認する
- 4
n=kで成り立つと仮定する
- 5
漸化式でn=k+1を示す
要点
答案の順序
予想式を証明するときは、見つけた理由と証明を混ぜすぎないようにします。まず予想を置き、そのあと帰納法の2段階で確認します。
- 1
最初の数項から式を予想する
- 2
n=1で初期条件に合うか見る
- 3
n=kを仮定して漸化式へ入れる
- 4
n=k+1の予想式に一致させる
公式
例の予想式
1,3,7,15,... から形を見ます。予想式は、必ず漸化式へ戻して確かめます。
漸化式
a1=1, an+1=2an+1
前の項を2倍して1を足す数列です。帰納段階では、この更新式に仮定した一般項を代入します。
- an第n項
使うときのコツ
まず項を並べます。
予想
an=2n-1
最初の項に合う一般項の候補です。候補なので、すべてのnで正しいことはまだ言えていません。
使うときのコツ
まだ証明ではありません。
解くコツ
予想式を、帰納法で漸化式に戻して確かめます。初期条件と更新式の両方に合うことを示します。
例
- 場面
- aₙ=2ⁿ-1 が正しいか帰納法で確認する。
- 順に考えると
- n=1では2¹-1=1で、初期条件a₁=1に合います。次にaₖ=2ᵏ-1と仮定します。漸化式より、aₖ₊₁=2aₖ+1=2(2ᵏ-1)+1=2ᵏ⁺¹-1です。
- ここが結論
- これは予想式にn=k+1を入れた形です。初期条件と漸化式に合うので、予想式を証明できました。
要点
確認する2つ
漸化式で出た予想は、初期条件と更新ルールの両方に合うかを見ます。どちらか片方だけでは、元の数列と同じだとは言えません。
- 1
n=1で初期条件に合う
- 2
n=kを仮定する
- 3
漸化式でk+1へ進む
- 4
予想式のk+1の形になる
注意
予想だけで終わらない
比較
| 方法 | 分かること |
|---|---|
| 予想 | 式の候補が見えるが、まだ全体の証明ではない |
| 有限個の確認 | その範囲では合うが、次へ続く理由は未確認 |
| 数学的帰納法 | 初期条件と更新式を使ってすべての自然数へ広げる |
方法予想
- 分かること
- 式の候補が見えるが、まだ全体の証明ではない
方法有限個の確認
- 分かること
- その範囲では合うが、次へ続く理由は未確認
方法数学的帰納法
- 分かること
- 初期条件と更新式を使ってすべての自然数へ広げる
自然数全体を示すなら、予想から証明へ進めます。有限個の確認と、すべての場合の証明を区別します。
確認
確認テスト
Q1
最初の4項に合う一般項を見つけた後、すべての自然数で示すには何をしますか。
まとめ
まとめ
- 1
漸化式から一般項を予想できる
- 2
予想だけでは証明ではない
- 3
初期条件に合うか見る
- 4
漸化式に代入して次の項を作る
- 5
帰納法で更新ルールに合うか確かめる