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イントロ

正弦定理の基本

向かいの辺と角を組にする

直角でない三角形でも、辺と角の関係を使って長さを求められます。正弦定理では、辺とその向かいの角をペアで見ます。

定義

正弦定理

教科書では
三角形の各辺と、その向かいの角の正弦の比が等しいという定理です。
言いかえると
三角形ABCで、辺aは角Aの向かい、辺bは角Bの向かい、辺cは角Cの向かいです。正弦定理は、この向かい合うペアを使って辺や角を求める公式です。式の形を覚えるだけではなく、図の中でどの辺とどの角が向かい合うかを声に出して確認します。1つのペアが完全に分かり、もう1つのペアに未知量があるとき、正弦定理の出番だと判断できます。
図解三角形ABCと外接円で辺aと角A、辺bと角B、辺cと角Cの対応を示した図
正弦定理では、辺と向かいの角を1セットで見ます。隣の角と組にしないことが重要です。
公式

正弦定理

R は三角形の外接円の半径です。

正弦定理

各辺と向かいの角の sin の比が等しい。

解くコツ

まず使えるペアを2組選びます。

要点

対応の読み方

公式より先に、図の対応を書き込むとミスが減ります。

  1. 1

    a は角Aの向かい

  2. 2

    b は角Bの向かい

  3. 3

    c は角Cの向かい

  4. 4

    辺と角を丸でつなぐ

場面
A=40°、B=60°、a=8 のとき b を表す。
順に考えると
使うペアは a とA、b とB です。正弦定理より 8/sin40° = b/sin60°。両辺を整理して b = 8sin60°/sin40° と表せます。分かっているペアと求めたいペアを並べ、式を作ったあとも辺と向かいの角が対応しているか図で確認します。
ここが結論
向かいの角と辺を正しく組にすれば、式は短く立てられます。
注意

隣の角と組にしない

比較
条件使いやすさ理由
角2つと辺1つ正弦定理向かいのペアを作りやすい
辺2つと間の角余弦定理正弦定理のペアが不足
外接円半径R正弦定理2R と結び付く

条件角2つと辺1つ

使いやすさ
正弦定理
理由
向かいのペアを作りやすい

条件辺2つと間の角

使いやすさ
余弦定理
理由
正弦定理のペアが不足

条件外接円半径R

使いやすさ
正弦定理
理由
2R と結び付く

正弦定理は、向かい合う辺と角のペアが見えるときに使いやすい定理です。

要点

正弦定理の入口

正弦定理では、使う2組のペアを作れるかを最初に見ます。

  1. 1

    既知の辺と向かいの角を探す

  2. 2

    求めたい辺と向かいの角を見る

  3. 3

    角が足りなければ内角の和を使う

  4. 4

    隣の角とは組にしない

確認

確認テスト 1

Q1

辺aと対応する角はどれですか。

確認

確認テスト 2

Q1

a=6, A=30°, B=60° のとき、正弦定理でbを求めるとどれですか。

要点

解いた後の確認

正弦定理の式は、対応する辺と角を同じ順に並べているかを確認します。向かいのペアを2組作れなければ、余弦定理など別の道具を考えます。

  1. 1

    a と A が対応している

  2. 2

    b と B が対応している

  3. 3

    求めたい量だけを未知にする

まとめ

まとめ

  1. 1

    正弦定理は辺と向かいの角の関係

  2. 2

    a は角Aの向かい

  3. 3

    使うペアを2組選ぶ

  4. 4

    外接円半径とは 2R でつながる