有理数・無理数と小数

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イントロ

無限小数でも有理数になる

小数がずっと続くと、すぐ無理数だと思いがちです。大切なのは長さではなく、分数で表せるか、同じ並びがくり返すかです。

定義

教科書では: 有理数は整数の分数で表せる数、無理数は分数で表せない実数です。
言いかえると: 有理数を小数で表すと、有限小数か循環小数になります。無理数は小数にすると無限に続き、同じ並びが循環しません。小数表示だけを見ると長く続く数はすべて無理数に見えますが、循環していれば分数で表せるため有理数です。

比較

小数の形有限小数

小数の形循環小数

小数の形循環しない無限小数

無限に続くかどうかだけでは分類できません。循環している無限小数は分数で表せるので有理数です。

要点

小数の形に惑わされると、循環小数を無理数と間違えやすくなります。

例

場面: 0.5、0.333...、√2 を分類する。
順に考えると: 0.5 は 1/2 と表せるので有理数です。0.333... は無限に続きますが、同じ3が循環し、1/3 と表せるので有理数です。√2 は分数で表せない数として扱うので無理数です。特に 0.333... のような数は終わらない小数ですが、1/3 と書けるので有理数です。無限に続くことだけで無理数とは判断しません。
ここが結論: 無限小数かどうかではなく、分数表示と循環の有無を見ると分類できます。

注意

要点

小数の形で出されたら、まず有限か循環かを見て、最後に分数で表せるかへ戻します。

確認

0.333... について正しい説明はどれですか。

確認

√3について正しい説明はどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

根号内の整理、同じ根号の加減、平方根の積の性質を使った基本計算を整理します。基本例とよくある誤解も確認します。