置き換え・一つの文字に着目する式変形

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イントロ

公式に見えない式にも見方がある

式変形は手順暗記だけではありません。同じまとまりを見つけたり、一つの文字について整理したりすると、複雑に見える式も扱いやすくなります。

定義

教科書では: 式の中のまとまりを、一時的に一つの文字のように見る方法です。
言いかえると: a(x+y)+b(x+y) では、x+y が同じまとまりとして2回出ています。これを M のように見れば aM+bM と整理でき、因数分解しやすくなります。式の中で同じまとまりが何度も出るとき、そのまとまりを1つの文字のように見ると構造が見えます。置き換えは計算を短くするための整理です。

要点

公式に直接合わない式でも、同じ形が繰り返し出ていれば見通しが立つことがあります。

手順

例

場面: a(x+y)+b(x+y) を因数分解する。
順に考えると: x+y が共通しているので、M=x+y と置くと aM+bM です。これは M(a+b) とくくれます。最後に M を x+y に戻して、(a+b)(x+y) となります。置き換えたまま終わらず、最後に元の式へ戻すところまでが答案です。途中のMは見通しをよくするための一時的な名前だと考えます。
ここが結論: 置き換えで見通しを作ると、公式に直接見えない式も整理できます。

比較

見方そのまま見る

見方置き換える

見方元に戻す

置き換えは途中の見方です。答えでは元の文字に戻します。

注意

要点

長い式で同じ形が繰り返されていたら、そこを一つの文字として扱えるかを試します。

確認

a(x+y)+b(x+y) で置き換えると見やすいまとまりはどれですか。

確認

(x+1)²+3(x+1) を置き換えて見るとき、まず置くとよいものはどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

不等式の解が1つの数ではなく範囲であることを、数直線で整理します。基本例とよくある誤解も確認します。