イントロ
判別式と虚数解
D<0 を解なしで終えない
実数だけなら解なしでも、複素数の範囲では虚数解をもつことがあります。判別式の読み方を更新します。 ここでは、形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する流れまで押さえます。
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定義
判別式
- 教科書では
- 二次方程式 ax²+bx+c=0 の解の種類を判断する式 D=b²-4ac です。
- 言いかえると
- D>0 なら異なる2つの実数解、D=0 なら重解、D<0 なら異なる2つの虚数解をもちます。複素数の範囲で考える点が大切です。 判別式Dの符号が、実数解・重解・虚数解の分かれ目です。
公式
判別式
D の符号で解の種類を分けます。
判別式
D=b2-4ac
ax²+bx+c=0 の解の種類を判断します。
使うときのコツ
a≠0
分岐
D>0, D=0, D<0
実数解2個、重解、虚数解2個に分かれます。
使うときのコツ
範囲に注意
解くコツ
解を出す前に D の符号を見ると、解の種類が分かります。 式を使った後は、符号、条件、元の式へ戻るかを短く確認します。
要点
使う前の確認
公式や手順に入る前に、何の形を見ているかを言葉にします。a,b,c を読むことから始め、最後に条件と結果を確かめると、符号や範囲のミスを見つけやすくなります。解答では、最初に見た形と最後の確認を短く残します。
- 1
a,b,c を読む
- 2
D=b²-4ac を計算する
- 3
判別式は D=b²-4ac
- 4
D の符号で解の種類を判断する
手順
進め方
- 1
a,b,c を読む
- 2
D=b²-4ac を計算する
- 3
D の符号を見る
- 4
解の種類を言葉で答える
- 5
最後に条件と結果を確認する
例
- 場面
- x²+2x+5=0 の解の種類を判定する。
- 順に考えると
- a=1、b=2、c=5 なので D=2²-4・1・5=-16 です。D<0 だから、複素数の範囲で異なる2つの虚数解をもちます。 Dを計算し、符号から解の種類を判断します。
- ここが結論
- 実数範囲なら実数解なし、複素数範囲なら虚数解ありです。 Dの値ではなく、符号が何を意味するかまで答えます。
比較
| 範囲 | 条件 | 言い方 |
|---|---|---|
| 実数範囲 | D<0 | 実数解なし |
| 複素数範囲 | D<0 | 虚数解2個 |
| D=0 | どちらでも | 重解 |
範囲実数範囲
- 条件
- D<0
- 言い方
- 実数解なし
範囲複素数範囲
- 条件
- D<0
- 言い方
- 虚数解2個
範囲D=0
- 条件
- どちらでも
- 言い方
- 重解
似た形との違いを先に見ると、使う操作を選びやすくなります。迷ったら、どの条件が成り立っているかを言葉に直します。
注意
D<0 をただの解なしにしない
確認
確認テスト
Q1
x²+4x+8=0 の判別式 D は -16 です。複素数の範囲での解の種類はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
判別式は D=b²-4ac
- 2
D の符号で解の種類を判断する
- 3
D<0 は複素数範囲で虚数解
- 4
数の範囲を確認する
- 5
形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する
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