剰余の定理

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イントロ

余りは代入でわかる

多項式を最後まで割らなくても、x-a で割った余りは P(a) で求められます。因数定理への橋になります。ここでは、形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する流れまで押さえます。

定義

教科書では: P(x) を x-a で割った余りは P(a) になる、という定理です。
言いかえると: P(x)=(x-a)Q(x)+R とおき、x=a を代入すると、(x-a) の部分が0になって R だけが残ります。 x-aで割る余りはP(a)です。割り算をせずに代入で余りを読めます。

公式

割る式の符号を読み間違えないようにします。

余り

P(x) を x-a で割る余りは P(a)

割り算なしで余りが出ます。

使うときのコツ

x+2 なら a=-2

解くコツ

割る式を x-a の形に直してから代入値を決めます。式を使った後は、符号、条件、元の式へ戻るかを短く確認します。

要点

公式や手順に入る前に、何の形を見ているかを言葉にします。割る式を x-a の形で読むことから始め、最後に条件と結果を確かめると、符号や範囲のミスを見つけやすくなります。解答では、最初に見た形と最後の確認を短く残します。

手順

例

場面: P(x)=x²+3x+1 を x-2 で割る余りを求める。
順に考えると: x-2 で割るので a=2 です。P(2)=2²+3・2+1=11 だから、余りは11です。 x-2なので2を代入し、P(2)を余りとして読みます。
ここが結論: 筆算をしなくても、代入だけで余りが求められます。割る式がx-aの形かを最初に確認します。割る式が x-a か x+a かを先に直すと、代入する値を間違えにくくなります。余りは定数なので、最後に次数も確認します。

比較

割る式x-2

割る式x+2

割る式x

似た形との違いを先に見ると、使う操作を選びやすくなります。迷ったら、どの条件が成り立っているかを言葉に直します。

注意

確認

P(x) を x+3 で割る余りを求めるとき、代入する値はどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

分数式を因数分解してから約分し、乗法・除法を正しく進められるようにするトピックです。