円順列

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イントロ

円では先頭がない

円卓の席順では、全員が同じだけ回転した配置は同じ並びです。普通の1列の順列より、重複を減らして数える必要があります。円の問題では、目印がないため『どこから読み始めるか』が結果に含まれません。

定義

教科書では: 円形に並べるとき、回転して一致する配置を同じものとして数える順列です。
言いかえると: まっすぐな列には左端がありますが、円には先頭がありません。そこで1人を基準として固定し、残りの人を並べると考えます。 1人を固定しても、その人だけを特別な席に座らせるわけではありません。回転して同じになる配置をまとめて、数えすぎを防いでいます。

公式

異なるn個を円に並べる基本形です。円では始点がないため、1列のn!から重複を取り除いて考えます。

円順列

(n-1)!

1つを固定し、残りn-1個を並べる。 1つを基準に固定し、残りn-1個を一列に並べる数です。

使うときのコツ

ネックレスのように裏返しも同じとする問題は、ここでは別の発展扱いです。

解くコツ

回転を同じと見る場合だけ使います。

比較

並べ方1列

並べ方円

並べ方回転後

列と円の違いは、始まりの位置があるかどうかです。どちらも並べる問題ですが、円では読み始める位置を答えに含めない点が違います。

要点

基準を固定するのは、特別扱いではなく回転による数えすぎを消すためです。固定した後は、残りの人をAの右隣から順に一列へ並べる問題として数えます。裏返しを同じと見る問題は別条件なので、まず回転だけをまとめます。

例

場面: 5人が円卓に座る。
順に考えると: 1人Aを基準として固定します。残り4人をAの周りに並べればよいので、4!=24通りです。 Aを固定してからB,C,D,Eを時計回りに並べると、回転してAの位置が変わっただけの重複を避けられます。 BをAの右隣に置く場合と左隣に置く場合は、回転だけでは重ならないので別に数えます。
ここが結論: 5!のままだと、同じ円卓配置を5回ずつ数えてしまいます。 24通りは、Aの位置を基準にした周りの並び方の数です。

注意

確認

6人が円卓に座る場合の数として正しい式はどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

同じ記号を含む並べ方で、区別して数えた後に重複分を割る考えを基本例題で学びます。