組合せの使い方と余事象

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イントロ

反対が簡単なら全体から引く

『少なくとも1つ』のような条件は、直接場合分けすると長くなることがあります。反対の場合が簡単なら、全体から除くと見通しがよくなります。条件を正面から数える前に、反対側が短い言葉で言えるかを試すと、計算の方針が立ちます。

定義

教科書では: 条件を満たす場合を、全体から条件を満たさない場合を引いて求める考えです。
言いかえると: 少なくとも1人女子を含むなら、反対は女子が0人です。反対の方が単純なら、全体から反対の場合を引く方が安全です。余事象を使うときは、まず全体を同じ数え方で作ります。その上で、条件を満たさない場合だけを引くので、分母や選び方の単位がそろいます。

要点

補集合は楽をするためだけでなく、漏れを防ぐための考え方です。「少なくとも」の反対条件を短く言えるときは、全体から反対を引く方が安定します。数える単位が全体とそろっているかも確認します。

比較

方針直接数える

方針余事象を使う

方針確認する

速さだけでなく、漏れを減らすために余事象を選びます。

公式

場合の数でも確率でも使う見方です。

補集合で数える

条件を満たす数 = 全体 - 反対の場合

直接数えるより反対が簡単なときに使う。直接数えにくい条件を、全体から条件を満たさない場合を除いて求める形です。

使うときのコツ

反対条件を作るときは、『少なくとも1つ』を『0個』のように正確に言い換えます。

解くコツ

反対の場合を言葉で正しく作ります。

例

場面: 男子4人、女子3人から3人選ぶ。少なくとも1人女子を含む選び方。
順に考えると: 全体は₇C₃通りです。反対は女子が0人、つまり男子だけ3人を選ぶ₄C₃通りです。だから₇C₃-₄C₃で求めます。直接なら女子1人、2人、3人をそれぞれ足します。今回は反対の男子だけ3人が1つで済むので、余事象の方が短くなります。
ここが結論: 『少なくとも』は反対から見ると短くなることがあります。直接計算した結果と一致するので、余事象は別解としても検算としても使えます。

注意

確認

『少なくとも1個は当たり』の反対の場合はどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

試行、事象、標本空間を整理し、同様に確からしい全体に対する割合として確率を求めます。