順列と階乗

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イントロ

並べ方は席を順に埋める

順列は、順番を区別して並べる数え方です。席を左から埋めるように考えると、選択肢が1つずつ減る理由が見えてきます。順番を区別するかどうかを最初に決めると、順列と組合せの混同を避けられます。

定義

教科書では: n個の異なるものをすべて1列に並べる場合の数を表す積です。
言いかえると: 4人を並べるなら、1番目は4通り、2番目は残り3通り、3番目は2通り、最後は1通りです。このような積を4!と書きます。階乗は、候補が1つずつ減る掛け算を短く書く記号です。暗記するだけでなく、何番目の席で何通り残るかを対応させて読みます。

公式

異なるものを全部並べる基本形です。

階乗

n! = n×(n-1)×...×2×1

n個を全部1列に並べる場合の数。 n個すべてを一列に並べるとき、最初から最後までの候補数を掛けたものです。

使うときのコツ

途中で同じものがある場合や再利用できる場合は、この式だけでは数えられません。

解くコツ

小さい数で候補が減る様子を確認します。空欄に候補数を書いてから掛けると、階乗記号だけを丸暗記するよりミスを減らせます。

手順

要点

順位や席順がある場面では、順番の違いを区別します。順列では「誰を選ぶか」だけでなく「どこに置くか」までが結果に含まれます。席を埋める順に候補数を書き、全部を使うなら階乗、途中で止めるなら順列として読みます。

例

場面: 4人 A, B, C, D を1列に並べる。
順に考えると: 1番目は4人から選べます。2番目は残り3人、3番目は2人、4番目は1人です。したがって4×3×2×1=24通りです。ここでA,B,C,Dは全員違う人なので、Aが先頭の並びとBが先頭の並びは別の結果です。
ここが結論: 全部を並べる順列は階乗で表せます。 24通りという数は、4人全員を使い切る並びの総数です。途中で止める問題ではnPrを使います。

注意

確認

5人を1列に並べる場合の数を表す式はどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

n個からr個を選んで順序つきに並べる場合の数を、nPrの意味と例題から整理します。