場合の数で確率を求める

1 / 11 ブロック9%

イントロ

分母と分子を数え分ける

順列や組合せは、確率の分母と分子を作る道具にもなります。まず同様に確からしい全体を決め、条件を満たす場合を数えます。先に分母を決めると、分子も同じ種類の数え方で作る必要があることに気づきやすくなります。

定義

教科書では: 条件を満たす場合の数を、全体の場合の数で割って確率を求める方法です。
言いかえると: 大切なのは、分母の1通りが同じ起こりやすさになるように全体を作ることです。カードを2枚選ぶなら、2枚の組合せ全体を分母にします。 2枚選ぶ問題で順序を考えないなら、分母も分子も組合せで数えます。分母が順列で分子が組合せのように単位がずれると、正しい割合になりません。

公式

場合の数を比にします。場合の数で作った割合が、そのまま確率になります。

基本形

確率 = 条件を満たす数全体の数

同様に確からしい全体の中で、事象が占める割合。条件を満たす場合の数が、全体の場合の数のうちどれだけを占めるかを表します。

使うときのコツ

順列で全体を作ったなら分子も順列、組合せなら分子も組合せでそろえます。

解くコツ

分母と分子を同じ数え方で作ります。

手順

要点

確率では、分母の1通りと分子の1通りが同じ重さでなければなりません。カードの組を数えるなら、条件を満たす側もカードの組として数えます。全体を決めてから条件部分を数える順にします。

例

場面: 赤3枚、白2枚のカードから2枚選ぶ。赤が1枚だけ出る確率。
順に考えると: 全体は5枚から2枚を選ぶので₅C₂通りです。赤1枚白1枚は₃C₁×₂C₁通りです。したがって確率は(₃C₁×₂C₁)/₅C₂です。赤1枚白1枚という条件も、2枚の組として数えます。赤の選び方3通りと白の選び方2通りを組み合わせます。
ここが結論: 全体と条件を同じ単位の組合せで数えます。計算すると6/10=3/5です。式の形だけでなく、分母10通りのうち6通りが条件を満たすと読めます。

注意

確認

赤3枚、白2枚から2枚選ぶとき、確率の分母として自然なのはどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

一方の結果が他方に影響しない独立な試行と、同じ試行を繰り返す確率の考えを学びます。