角の二等分線と辺の比

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イントロ

角の印から辺の比を読む

三角形の角を半分に分ける線は、向かいの辺を適当に分けるのではありません。角をはさむ2辺の長さの比と、向かいの辺の分け方が対応します。

定義

教科書では: 三角形 ABC で AD が ∠A の二等分線なら、BD:DC = AB:AC となります。
言いかえると: 角を半分にする線は、中線のように向かいの辺を必ず半分にするわけではありません。見るべきなのは、二等分された角をはさむ2辺 AB と AC の長さです。その比が、向かいの辺 BC の分け方にそのまま現れます。高校数学Aの図形では、性質の名前だけでなく、図のどの条件から使えるのかまでセットで確認します。

公式

角を二等分している印があるときに使います。

内角の二等分線

BD:DC = AB:AC

向かいの辺の分け方は、角をはさむ2辺の比と同じです。

使うときのコツ

D は BC 上の点として読む。

解くコツ

角の印を見つけたら、まずその角をはさむ2辺を確認します。

要点

辺の比は、図の位置関係とセットで読みます。

例

場面: AB=6、AC=9、BC=10。AD が ∠A の二等分線のとき BD と DC を求める。
順に考えると: 定理より BD:DC=AB:AC=6:9=2:3 です。BC 全体は 10 なので、2:3 の合計 5 等分として考えます。1等分は 2、したがって BD=4、DC=6 です。答えを出したあと、使った条件を図に戻して確かめると、別の定理との取り違えを防げます。
ここが結論: 角の二等分線は、向かいの辺を隣の2辺の比に分けます。

比較

線	作り方	向かいの辺
中線	頂点と向かいの辺の中点を結ぶ	1:1 に分ける
角の二等分線	角を2つの等しい角に分ける	隣り合う2辺の比に分ける

線中線

線角の二等分線

線の名前が違えば、使える性質も違います。

注意

要点

図形の性質は、根拠を短く言えると定着します。計算結果だけで終わらせず、どの条件からその性質を使ったかを1文で残します。図に印を戻すと、同じ定理を別の形の問題でも使いやすくなります。

確認

AD が ∠A の二等分線です。AB=8、AC=12 のとき、BD:DC はどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

外心を三辺の垂直二等分線の交点として捉え、3つの頂点までの距離が等しいことを確認します。