チェバの定理

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イントロ

一点に集まる線を比で確かめる

三角形の3つの頂点から引いた線が1点で交わるかどうかは、辺上の線分比から調べられます。図の形を見てから定理を選ぶことが大切です。

定義

教科書では: 三角形の3つの頂点から向かいの辺へ引いた線が1点で交わるとき、3つの辺上の比の積が1になります。
言いかえると: チェバの定理で最初に見るのは、式ではなく図の形です。3本の線が三角形の内側または周辺の1点に集まっているなら、各辺で分けられた線分比を順に追って掛け合わせます。高校数学Aの図形では、性質の名前だけでなく、図のどの条件から使えるのかまでセットで確認します。

公式

比の順番は、図で決めた向きにそろえます。

一点交会の条件

BDDC ・ CEEA ・ AFFB = 1

D, E, F が各辺上にあり、AD, BE, CF が1点で交わるときの基本形です。

使うときのコツ

辺を一周するように読む。

解くコツ

公式の文字だけを覚えず、どの辺のどの点かを図で確認します。

要点

一点交会がキーワードです。

例

場面: BD:DC=2:3、CE:EA=3:4。チェバの条件から AF:FB を考える。
順に考えると: AF:FB を x:1 とおくと、(2/3)×(3/4)×x=1 です。前の2つの積は 1/2 なので、x=2 となります。したがって AF:FB=2:1 です。答案では、図の文字と比の向きを必ずそろえます。答えを出したあと、使った条件を図に戻して確かめると、別の定理との取り違えを防げます。
ここが結論: 2つの比が分かれば、残りの比を条件から求められます。

注意

比較

定理	図の形	見る合図
チェバ	3本の線が1点で交わる	一点交会
メネラウス	1本の直線が三角形を横切る	一直線

定理チェバ

定理メネラウス

式の形が似ていても、図の形はまったく違います。

要点

図形の性質は、根拠を短く言えると定着します。計算結果だけで終わらせず、どの条件からその性質を使ったかを1文で残します。図に印を戻すと、同じ定理を別の形の問題でも使いやすくなります。

確認

3本の線 AD, BE, CF が三角形の内部の1点で交わっています。まず考える定理はどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

三角形を横切る1本の直線と、辺または延長上の線分比の関係を、チェバとの違いも含めて整理します。