接線と弦のつくる角

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イントロ

接線の角を円周角へ移す

円に接する直線と弦が作る角は、円の反対側にある円周角と等しくなります。接点と弦を見つけることが出発点です。

定義

教科書では: 接線と弦のつくる角は、その弦を見込む反対側の円周角と等しくなります。
言いかえると: 接線が出ると、半径と接線が垂直という性質だけを使いたくなります。しかし角度問題では、接線と弦の角を円周角へ移す見方も重要です。どの弦に対する円周角かを探します。高校数学Aの図形では、性質の名前だけでなく、図のどの条件から使えるのかまでセットで確認します。

要点

接線だけでなく、どの弦と組になっているかを見ます。

公式

定理文を図に対応させて使います。

接弦定理

接線と弦の角 = 反対側の円周角

接点 A の接線と弦 AB が作る角は、弦 AB を見込む円周角に等しくなります。

使うときのコツ

接点・弦・反対側の点を確認。

解くコツ

角を移す先を図で選びます。

例

場面: 点 A での接線と弦 AB のつくる角が 55°。弦 AB を見込む円周角を求める。
順に考えると: 接弦定理より、接線と弦 AB のつくる角は、弦 AB を反対側から見込む円周角と等しいです。したがって、対応する円周角も 55° です。答えを出したあと、使った条件を図に戻して確かめると、別の定理との取り違えを防げます。
ここが結論: 角を接線側から円周上へ移して考えます。

比較

接線の性質	見るもの	使いどころ
半径と接線は垂直	半径と接点	90°を作る
接弦定理	接線と弦	円周角へ移す

接線の性質半径と接線は垂直

接線の性質接弦定理

接線がある問題でも、何を求めるかで使う性質が変わります。

注意

要点

図形の性質は、根拠を短く言えると定着します。計算結果だけで終わらせず、どの条件からその性質を使ったかを1文で残します。図に印を戻すと、同じ定理を別の形の問題でも使いやすくなります。

確認

接線と弦 AB のつくる角に等しいのはどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

円と直線が作る線分の積の関係を、外部点からの割線や接線の基本形で確認し、式に入れる線分を選べるようにします。