複利計算を漸化式で表す

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イントロ

一定割合で増える量を更新する

一定割合で増える量は、前の値に同じ倍率を掛けて次の値を作れます。複利計算は、前の年の金額を次の年へ引き継ぐので、等比型の漸化式で表せる代表例です。

定義

複利の更新

教科書では: 前の金額に利息が加わり、その合計が次の年の金額になる考え方です。
言いかえると: 5%増えるとは、元の100%に5%を足して105%になることです。だから次の値は、前の値に1.05を掛けて求めます。割合の問題では、増加率をそのまま掛けるのではなく、全体の倍率に直します。

年ごとの残高が1.05倍で更新される表 — 5%増えるとき、次の年の金額は前の年の1.05倍です。利率だけでなく元の100%も含めて、次の値を作ります。

公式

一定割合の更新

増加率rを倍率1+rに直します。rだけを掛けると、元の量を残したことになりません。

漸化式

a_n+1=(1+r)a_n

前の値に、元の分1と増加分rを合わせた倍率を掛けます。一定割合で増えるので、毎回同じ倍率を使います。

r増加率
a_nn年目の値

使うときのコツ

5%ならr=0.05です。

一般項

a_n=a₁(1+r)^n-1

一定割合の更新は等比型として読めます。初年度から第n年目までは、倍率をn-1回掛けます。

使うときのコツ

年数と添字を対応させます。

解くコツ

p%増えるなら、まず1+p/100倍に直します。減少なら1から割合を引き、増加と同じように倍率で扱います。

比較

変化の種類	漸化式の見方
毎年300円増える	一定量を足すので等差型
毎年3%増える	一定倍率を掛けるので等比型
毎年5%減る	0.95倍を掛ける更新

変化の種類毎年300円増える

漸化式の見方: 一定量を足すので等差型

変化の種類毎年3%増える

漸化式の見方: 一定倍率を掛けるので等比型

変化の種類毎年5%減る

漸化式の見方: 0.95倍を掛ける更新

金額の差が一定か、倍率が一定かを見分けると、作る漸化式の型が決まります。

要点

増加率を倍率へ

割合の問題では、何倍になるかを先に作ります。文章の「増える」「減る」を、式で使える倍率へ翻訳するのが最初の一手です。

1
5%は0.05
2
5%増えるは1.05倍
3
10%減るなら0.90倍
4
倍率を漸化式に入れる

例

場面: 10000円が毎年5%ずつ増えるモデルを作る。
順に考えると: 5%増えるので倍率は1.05です。初年度をa₁=10000とすると、aₙ₊₁=1.05aₙ。2年目は10000・1.05、3年目は10000・1.05²です。年が1つ進むたびに、同じ倍率を1回掛けます。
ここが結論: 一定割合の増加は等比型の漸化式になります。添字が年の数え方と合っているかも確認します。

注意

利率だけを掛けない

確認

確認テスト

毎年3%ずつ増える量の更新式として正しいものはどれですか。

まとめ

1
一定割合の増加は倍率で見る
2
r増えるなら1+r倍
3
p%はp/100に直して扱う
4
複利モデルは等比型
5
添字と年数の対応を確認する

次に進む

この流れのまま学習を広げる

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

漸化式と数学的帰納法

ハノイの塔の漸化式

ハノイの塔の最小手数を、小さい枚数を移す手順に分けて aₙ₊₁=2aₙ+1 と表します。