イントロ
ハノイの塔の漸化式
大きい問題を小さく分ける
ハノイの塔では、n+1枚を動かす手順を、上のn枚、大きい1枚、上のn枚に分けます。大きい問題の中に同じ小さい問題が2回出てくるため、漸化式が生まれます。
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大きい問題を小さく分ける
ハノイの塔では、n+1枚を動かす手順を、上のn枚、大きい1枚、上のn枚に分けます。大きい問題の中に同じ小さい問題が2回出てくるため、漸化式が生まれます。
aₙをn枚の最小手数とします。n+1枚の問題を、すでに知っているn枚の問題へ分けます。
漸化式
an+1=2an+1
n枚の移動を2回行い、大きい円盤を1回動かします。前半のaₙ、中央の1回、後半のaₙを合わせた形です。
2aₙは前後のn枚移動です。
一般項
an=2n-1
小さい枚数で確かめると見える形です。予想したあとは、帰納法で漸化式に合うことを確認します。
証明は帰納法で確認します。
n+1枚を、n枚、大円盤、n枚に分けます。どの部分がaₙに対応するかを言葉で説明できるようにします。
| 手順 | 手数 |
|---|---|
| 上のn枚をよける | aₙ回 |
| 一番大きい円盤を動かす | 1回 |
| 上のn枚を戻す | aₙ回 |
手順上のn枚をよける
手順一番大きい円盤を動かす
手順上のn枚を戻す
同じn枚の移動が前後に1回ずつあるので、合計はaₙ+aₙ+1になります。
上のn枚を別の柱へ移す
一番大きい円盤を目的の柱へ移す
上のn枚を大きい円盤の上へ戻す
同じn枚移動が2回あると読む
1,3,7は、2¹-1, 2²-1, 2³-1 と読めます。ただし、数が合うことを見つけただけでは証明ではありません。
小さい枚数で項を出す
2ⁿ-1の形を予想する
予想だけで終わらせない
帰納法で後から確認する
n+1枚の最小手数をaₙで表す漸化式はどれですか。
大きい問題を小さい問題に分ける
n枚の移動が2回出る
大きい円盤の1回を足す
小さい問題の手数を再利用する
手数はaₙ₊₁=2aₙ+1
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