漸化式から項を順に求める

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イントロ

前の答えを次へ渡す

漸化式で項を求めるときは、前に出した値を次の式へ入れます。いきなり目的の項へ飛ばず、a₁からa₂、a₂からa₃のように1段ずつ進めるのが基本です。

定義

教科書では: 初期条件から始めて、漸化式をくり返し使い、項を1つずつ求める計算です。
言いかえると: 一気に第4項へ飛ぶのではなく、a₁からa₂、a₂からa₃のように進みます。前の行で出た値が、次の行の入力になります。添字が1つ増えるたびに、式へ入れる項も1つ先へ移ります。

手順

公式

更新式は、nを1つずつ進めて使います。

例

a_n+1=2a_n+1

n=1ならa₂を、n=2ならa₃を求める式になります。左辺の添字が、次に出る項を教えてくれます。

使うときのコツ

左辺の番号を見て、今どの項を出しているか確認します。

解くコツ

表の行ごとに、n、使う項、出る項を並べると、添字のずれに気づきやすくなります。

要点

aₙ₊₁は「次の項」です。a₄を出したいなら、左辺がa₄になるようにn=3を入れる、と逆から見ると迷いにくくなります。

例

場面: a₁=1, aₙ₊₁=2aₙ+1 の第4項を求める。
順に考えると: まずn=1として、a₂=2×a₁+1=2×1+1=3です。次にn=2として、a₃=2×a₂+1=2×3+1=7。さらにn=3として、a₄=2×a₃+1=2×7+1=15です。毎回、直前に求めた値だけを使います。
ここが結論: 第4項は15です。途中のa₂、a₃を省かずに書くと、代入した値を確認できます。

注意

確認

a₃=7 まで分かっているとき、a₄を求める式に入れる値はどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

aₙ₊₁=aₙ+d の形を等差数列として読み、初項から第n項までにdをn-1回足すことを学びます。