漸化式の意味と初期条件

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イントロ

前の項から次の項を決める

漸化式は、数列の項どうしの関係を表す式です。最初の値である初期条件と組み合わせると、前の項から次の項へ順に進められ、数列の具体的な値が決まります。

定義

教科書では: 数列のある項を、前の項などを使って表す式です。
言いかえると: 漸化式は、数列全体を一度に表す一般項とは少し違います。まず初期条件を出発点にし、そこから同じルールをくり返して次の項へ進みます。式だけでなく「どこから始めるか」も同じくらい大切です。

公式

初期条件と更新ルールをセットで読みます。片方だけでは、数列の値は決まりません。

例

a₁=2, a_n+1=a_n+3

第1項は2。次の項は前の項に3を足して作る、という意味です。aₙは今見ている項、aₙ₊₁は次に出る項として読み分けます。

使うときのコツ

a₁が出発点です。

解くコツ

まず初期条件を探し、次に更新ルールを読みます。答案では「出発点」と「進み方」を分けて書くと、読み落としを防げます。

要点

漸化式の問題文では、最初の値と次を作る式が別々に書かれることが多いです。先に役割を分けると、式の意味を取り違えにくくなります。

例

場面: a₁=2, aₙ₊₁=aₙ+3 の最初の4項を求める。
順に考えると: 出発点はa₁=2です。n=1のときa₂=a₁+3なので2+3=5、n=2のときa₃=a₂+3なので5+3=8、n=3のときa₄=a₃+3なので8+3=11です。毎回、直前に出た答えを次の式へ渡します。
ここが結論: 最初の4項は 2, 5, 8, 11 です。式の中のaₙは、前の行で求めた値に置き換わります。

注意

確認

a₁=4, aₙ₊₁=aₙ+2 で、数列の出発点を決めている情報はどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

初期条件と漸化式を使い、前に求めた項を次の式へ入れて指定された項まで順に計算します。