イントロ
等差×等比型の和
r倍して1行ずらす
係数が1,2,3,...と変わり、同時にrの累乗も付く和は、そのまま等比数列の公式に入りません。2行に並べて引く考えで整理します。
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定義
等差×等比型
- 教科書では
- 係数が等差的に変わり、同時に等比的な累乗が付く和の型です。
- 言いかえると
- 1+2r+3r²+...のような和では、係数が一定ではありません。r倍した行を作って、同じべきの項を縦にそろえます。
公式
ずらし引きの置き方
完成公式より、2行を作る考えを覚えます。
和を置く
S = 1 + 2r + 3r2 + ... + nrn-1
求めたい和をSと置きます。
r倍する
rS = r + 2r2 + 3r3 + ... + nrn
1つ右へずれた行を作ります。
使うときのコツ
同じべきが縦にそろうように書きます。
解くコツ
計算を急がず、項を縦にそろえてから引きます。
手順
解く手順
- 1
求めたい和をSと置く
- 2
rSを作る
- 3
同じべきで縦にそろえる
- 4
引いて端と中間を読む
例
- 場面
- S=1+2r+3r²+4r³ をずらし引きで見る。
- 順に考えると
- rS=r+2r²+3r³+4r⁴を作ります。S-rSでは、同じべきの項が縦に並び、係数の差と端の項に整理されます。
- ここが結論
- まず4項の小例で、ずれる位置を確認します。
比較
| 型 | そのまま公式 | 見ること |
|---|---|---|
| 等比だけ | 使いやすい | 初項・公比・項数 |
| 等差×等比 | そのまま不可 | r倍してそろえる |
| 確認 | 端に注意 | 頭と末尾が残る |
型等比だけ
- そのまま公式
- 使いやすい
- 見ること
- 初項・公比・項数
型等差×等比
- そのまま公式
- そのまま不可
- 見ること
- r倍してそろえる
型確認
- そのまま公式
- 端に注意
- 見ること
- 頭と末尾が残る
係数が変わるため、等比数列の和を直接入れる前に形を整えます。
注意
係数1,2,3を無視しない
要点
ずらし引きの見方
式変形より先に、2行の位置合わせが大切です。
- 1
SとrSを作る
- 2
同じべきでそろえる
- 3
端に残る項を囲む
- 4
中間を等比和で読む
要点
2行で位置をそろえる
等差×等比型の和では、計算力よりも行のそろえ方が先です。SとrSを作り、同じべきの項が縦に並ぶように書きます。
- 1
Sを置く
- 2
rSを作る
- 3
同じべきで縦にそろえる
- 4
端に残る項を囲む
比較
| 見る点 | 正しい読み | よくあるずれ |
|---|---|---|
| 係数 | 1,2,3,...も追う | 等比部分だけ見る |
| rS | 1つずれた行 | 項数を増やす目的と思う |
| 引き算 | 同じべきを整理する | 端の項を消してしまう |
見る点係数
- 正しい読み
- 1,2,3,...も追う
- よくあるずれ
- 等比部分だけ見る
見る点rS
- 正しい読み
- 1つずれた行
- よくあるずれ
- 項数を増やす目的と思う
見る点引き算
- 正しい読み
- 同じべきを整理する
- よくあるずれ
- 端の項を消してしまう
完成公式を覚える前に、なぜずらすと整理できるのかを小さい項数で確認します。
確認
確認テスト
Q1
等差×等比型の和で、rSを作る主な理由はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
係数が変わる和は直接等比公式にしない
- 2
Sを置いてrSを作る
- 3
同じべきで縦にそろえる
- 4
端の項を見落とさない