階差数列で一般項を求める

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イントロ

差の規則から元に戻る

等差でも等比でもない数列でも、隣り合う差に規則が見えることがあります。階差を足し戻すと、元の第n項を求められます。

定義

階差数列

教科書では: 階差数列は、元の数列の隣り合う項の差を並べた数列です。
言いかえると: 元の数列をaₙ、階差をbₖとすると、bₖはaₖ₊₁-aₖです。差は項と項の間にあるので、戻すときは個数に注意します。

公式

階差から戻す式

階差を足して元の項へ戻します。

階差

b_k = a_k+1 - a_k

隣り合う項の差を表します。

戻す式

a_n = a₁ + Σ_k=1^n-1 b_k

初項に階差をn-1個足します。

使うときのコツ

上端はnではなくn-1です。

解くコツ

階差の一般項を出した後、必ず元の数列へ戻します。

手順

解く手順

1
隣り合う差を作る
2
階差の一般項を求める
3
階差をn-1個足す
4
初項を加える

例

場面: 2,5,10,17,... の一般項を求める。
順に考えると: 階差は3,5,7,...で、bₖ=2k+1です。aₙ=2+Σₖ₌₁ⁿ⁻¹(2k+1)=2+(n-1)(n+1)=n²+1となります。
ここが結論: 元の一般項はaₙ=n²+1です。

注意

階差を答えにしない

要点

差を足して元に戻す

階差は元の数列の変化量です。変化量だけを答えにせず、初項から必要な個数だけ差を足して元の項へ戻します。

1
階差を作る
2
階差の規則を読む
3
n-1個の差を足す
4
初項を最後に加える

比較

見る点	正しい読み	よくあるずれ
階差bₖ	項と項の間の差	元の一般項とする
上端n-1	第n項までの差の個数	n個足す
初項a₁	戻る出発点	足し忘れる

見る点階差bₖ

正しい読み: 項と項の間の差
よくあるずれ: 元の一般項とする

見る点上端n-1

正しい読み: 第n項までの差の個数
よくあるずれ: n個足す

見る点初項a₁

正しい読み: 戻る出発点
よくあるずれ: 足し忘れる

階差数列は漸化式の入口にも見えますが、このtopicでは差の和で戻る基本に集中します。

要点

階差から戻す答案

階差は元の項そのものではなく、項と項の間の増え方です。初項から何個の差を足すかを示すと、上端の n-1 を落としにくくなります。

1
階差bₖは増え方
2
初項a₁を別に置く
3
足す差はn-1個
4
最後にaₙとして答える

確認

確認テスト

階差がbₖ=2k+1で初項a₁=2のとき、aₙを表す基本形はどれですか。

要点

戻すときの注意

差は項の間にあるので、第n項までにはn-1個です。

1
まず差を見る
2
階差の式を作る
3
n-1個足す
4
初項を忘れない

まとめ

1
階差は隣り合う差の列
2
階差だけでは元に戻らない
3
aₙは初項+階差の和
4
上端n-1に注意する

次に進む

この流れのまま学習を広げる

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

数列とその和

部分分数分解で消える和

1/{k(k+1)}型を部分分数分解し、展開して中間項が消える和を読みます。残る端の項と符号に注意します。