Σの性質

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イントロ

足し算として分けて使う

Σは足し算のまとまりなので、定数倍を外に出したり、和を分けたりできます。ただし定数項も、範囲内の回数だけ足されます。

定義

Σを分ける考え

教科書では: Σの中の和や定数倍は、足し算の性質を使って分けられます。
言いかえると: Σ(3k+2)なら、3kの列と2の列をそれぞれ足します。+2は1回だけではなく、添字の個数ぶん足されます。

Σ(3k+2)を3kの列と2の列に分ける図 — Σの中の3k+2を項ごとに分ける図です。各項に+2が入っているので、定数2も項数ぶん足されることを図の段で具体的に確認します。

公式

Σの基本性質

範囲が同じときに使います。

定数倍

Σ ca_k = cΣ a_k

共通の定数倍は外へ出せます。

和

Σ(a_k+b_k)=Σa_k+Σb_k

同じ範囲なら和を分けられます。

定数項

Σ_k=1ⁿ c = cn

同じ数cをn回足します。

解くコツ

下端が1でないときは、項数を別に確認します。

要点

計算前の確認

Σを分ける前に、範囲が同じかを見ます。

1
範囲をそろえる
2
定数倍を外へ出す
3
和を分ける
4
定数項は項数倍

例

場面: Σₖ₌₁⁵ (3k+2) を計算する。
順に考えると: 3Σk+Σ2に分けます。Σₖ₌₁⁵ k=15、Σₖ₌₁⁵ 2=2×5=10なので、3×15+10=55です。
ここが結論: 定数2は5回足されます。

注意

定数項を1回だけ足さない

要点

定数項の回数を見る

Σの中にある定数は、1回だけ足されるのではありません。範囲内のすべての項に現れるので、項数ぶん足されます。

1
範囲が同じか見る
2
定数倍を外へ出す
3
和を分ける
4
定数は項数倍する

比較

見る点	正しい読み	よくあるずれ
定数倍	共通なら外に出す	項ごとに違う数も出す
和	同じ範囲で分ける	範囲違いをそのまま分ける
定数項	cを項数回足す	cを1回だけ足す

見る点定数倍

正しい読み: 共通なら外に出す
よくあるずれ: 項ごとに違う数も出す

見る点和

正しい読み: 同じ範囲で分ける
よくあるずれ: 範囲違いをそのまま分ける

見る点定数項

正しい読み: cを項数回足す
よくあるずれ: cを1回だけ足す

Σの性質は分配法則に近いですが、範囲と項数を読む点が数列らしい注意です。

要点

Σの性質を使う答案

Σを分けるときは、足し算全体にかかっている範囲が同じかを確認します。定数倍は外に出せますが、動く文字を勝手に消さないようにします。分けた後も上下の範囲が同じかを見直すと、公式を使ってよい場面だけにしぼれます。途中でΣを外したら、最後に各和の公式へ正しくつながっているかを確認します。係数を外に出した後も、残ったΣの中身を読み直します。

1
範囲が同じか見る
2
和は分けられる
3
定数倍は外へ出せる
4
動く文字は残す

確認

確認テスト

Σₖ₌₁⁴ (2k+3) の分け方として正しいものはどれですか。

まとめ

1
Σは足し算のまとまり
2
定数倍は外へ出せる
3
和は同じ範囲で分ける
4
定数項は項数倍する
5
範囲が同じときだけ性質を使う

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この流れのまま学習を広げる

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

数列とその和

自然数・平方数・立方数の和

Σk、Σk²、Σk³の基本公式を、式の形に合わせて使い分けます。何乗の和かを読んで公式を選びます。