余弦定理で角を求める

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イントロ

三辺から角を見る

三辺が分かっている三角形では、余弦定理を変形すると角の大きさを調べられます。まず求めたい角と向かいの辺を対応させます。

定義

教科書では: 余弦定理を cosA について解き、三辺から角Aを調べる方法です。
言いかえると: 求めたい角を A と決めたら、その向かいの辺を a とします。残りの2辺を b、c として、cosA の値を出し、必要なら三角比表や情報機器で角度を確認します。三辺が分かると形が決まるので、角そのものではなくまず cos の値を求める、という順番になります。辺の名前は図の位置で固定されず、求めたい角に合わせて毎回置き直します。

公式

a は角Aの向かいの辺です。

角を求める形

cosA = (b² + c² - a²)2bc

三辺から角Aの cos を求める。

解くコツ

求めたい角を先に丸で囲みます。

手順

例

場面: 三辺が5、6、7の三角形で、最大角を調べる。
順に考えると: 最大角は最大辺7の向かいにあります。その角をA、向かいの辺をa=7、残りをb=5、c=6とします。cosA=(5²+6²-7²)/(2・5・6)=12/60=1/5 です。角度まで求める問題では、このあと三角比表や情報機器で cos の値に対応する角を探します。cos の値が正なら鋭角、0なら直角、負なら鈍角という見通しも持てます。
ここが結論: 角度の値は、cosA=1/5 から表や情報機器で確認します。

要点

対応を決めてから代入すれば、式の形は同じです。

注意

要点

三辺だけが分かっている問題では、余弦定理を角用に使います。

確認

角Aを求めたいとき、辺aはどの辺ですか。

確認

3辺a,b,cから角Aを求めるとき、cosA の式として正しいものはどれですか。

要点

cos の値が出たら、角の大きさの見通しも一緒に確認します。三角比表で角度を読む前に、鋭角か鈍角かを予想しておくと読み間違いに気づけます。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

三角形の面積公式 S = 1/2bc sinA を、底辺×高さ÷2 とつなげて理解します。2辺とその間の角を使うことを確認します。