絶対値と数直線上の距離

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イントロ

絶対値と数直線上の距離

符号を消す前に距離で見る

絶対値は、ただマイナスを外す記号ではありません。数直線上でどれだけ離れているかを表す距離として見ると、式の意味が読みやすくなります。

定義

絶対値

教科書では: 数直線上で、ある数が0からどれだけ離れているかを表す値です。
言いかえると: |-3|=3 は、-3 が0から3だけ離れているという意味です。距離なので絶対値は負になりません。|x-2| は x と2の距離として読めます。距離として読むと、絶対値が負にならない理由が自然に分かります。式の中に文字がある場合も、基準の点からどれだけ離れているかを考えます。

公式

絶対値と距離の式

絶対値は、数直線上の距離として式でも表せます。

0からの距離

|a| = a (a ≥ 0), |a| = -a (a < 0)

aが0以上ならそのまま、負なら符号を変えて正の距離として読む。

a数直線上の点を表す数

使うときのコツ

場合分けは、絶対値の中身が正か負かで決めます。

2点間の距離

|a-b|

数直線上のaとbの距離を表す。

a, b数直線上の2つの点

使うときのコツ

順番を入れ替えても距離は同じです。

解くコツ

式を見たら、まず『どこからどこまでの距離か』と言葉に直します。

要点

絶対値は距離

符号を消すという見方だけだと、文字を含む絶対値でつまずきやすくなります。

1
|-3| は0から3離れている
2
|5| も0から5離れている
3
|x-2| は2からxまでの距離
4
距離なので答えは0以上

-3と3の0からの距離、xと2の距離を数直線上に示した図 — 絶対値は数直線上の距離です。符号を消すのは結果であり、意味の中心は離れ具合です。赤は0からの距離、青は2からxまでの距離を表しています。基準点が変わっても、絶対値は距離を表すと読めます。

例

場面: |-3|、|5|、|x-2| を読む。
順に考えると: |-3| は -3 と0の距離なので3、|5| は5と0の距離なので5です。|x-2| は、xと2が数直線上でどれだけ離れているかを表します。文字が入っても、まず『どの点からどの点までの距離か』に言い換えると式の意味を保てます。
ここが結論: 文字を含む形では、距離として読み替えると意味を保てます。

比較

式	距離としての読み	値の性質
\|-3\|	-3 と0の距離	3
\|5\|	5 と0の距離	5
\|x-2\|	x と2の距離	0以上

式|-3|

距離としての読み: -3 と0の距離
値の性質: 3

式|5|

距離としての読み: 5 と0の距離
値の性質: 5

式|x-2|

距離としての読み: x と2の距離
値の性質: 0以上

絶対値は、見た目の符号よりも数直線上の離れ方を表します。

注意

符号を消すだけと思わない

要点

絶対値を読む型

絶対値の記号が出たら、計算を始める前に距離の言葉へ直します。

1
|a| は 0 から a までの距離
2
|a-b| は a と b の距離
3
距離なので値は0以上
4
基準点を数直線に置く

確認

確認テスト 1

|x-2| が表しているものはどれですか。

確認

確認テスト 2

|x-2|=5 を満たすxの値として正しいものはどれですか。

まとめ

1
絶対値は数直線上の距離
2
|a| は0からaまでの距離
3
|x-a| はxとaの距離
4
距離なので絶対値は負にならない

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この流れのまま学習を広げる

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

数と式

集合の表し方

集合、要素、部分集合の基本記号を、具体例から読み取れるようにします。基本例とよくある誤解も確認します。