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因数分解の基本
和の形を積の形に戻す
因数分解は、展開の逆向きの式変形です。積の形に直すと、式の構造が見えやすくなり、方程式や二次関数にもつながります。
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定義
因数分解
- 教科書では
- 和の形の整式を、いくつかの式の積の形に直すことです。
- 言いかえると
- x²+5x+6 を (x+2)(x+3) と書くように、まとまった積の形へ戻します。答えが正しいかは、もう一度展開して元の式に戻るかで確かめられます。公式探しの前に、共通因数や積と和の関係を見ます。
公式
基本の因数分解公式
展開公式を逆向きに読むと、因数分解の公式になります。
積和型
x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
和がa+b、積がabになる2数を探します。
- a,b探す2つの数
使うときのコツ
足して係数、掛けて定数を見ます。
平方型
a²±2ab+b²=(a±b)²
両端が平方で、真ん中が2abなら平方の形に戻せます。
使うときのコツ
真ん中の符号を確認します。
解くコツ
まず共通因数がないかを見てから、和と積、平方の形を順に確認します。
公式
差の平方の因数分解
2つの平方の差だけは、和と差の積に分けます。
差の平方
a²-b²=(a+b)(a-b)
2つの平方の差は、和と差の積に分けられます。
使うときのコツ
引き算の形だけに使えます。
解くコツ
a²+b² のような足し算の形には使えないので、符号を先に見ます。
要点
因数分解の見る順番
いきなり公式を探す前に、共通してくくれるものがないか確認します。
- 1
共通因数を先に見る
- 2
平方の形を探す
- 3
和と積になる2数を探す
- 4
最後に展開して確認する
例
- 場面
- x²+5x+6 を因数分解する。
- 順に考えると
- x²+(a+b)x+ab の形として見ます。足して5、掛けて6になる2つの数は2と3なので、x²+5x+6=(x+2)(x+3) です。確認として展開すると x²+3x+2x+6=x²+5x+6 に戻ります。
- ここが結論
- 和と積の条件を両方満たす2数を探すのが基本です。
比較
| 型 | 見るところ | 例 |
|---|---|---|
| 共通因数 | 全部の項に共通 | 2x+2y=2(x+y) |
| 積和型 | 足して係数、掛けて定数 | x²+5x+6 |
| 差の平方 | 2つの平方の差 | x²-9 |
型共通因数
- 見るところ
- 全部の項に共通
- 例
- 2x+2y=2(x+y)
型積和型
- 見るところ
- 足して係数、掛けて定数
- 例
- x²+5x+6
型差の平方
- 見るところ
- 2つの平方の差
- 例
- x²-9
式の形ごとに、最初に見る場所が違います。
注意
因数分解は項をばらばらにすることではない
要点
因数分解の見通し
因数分解では、まず共通因数を探し、その後に公式や積と和の組を使います。
- 1
共通因数を先に見る
- 2
公式の形を探す
- 3
積と和の組を試す
- 4
最後に展開して確認する
確認
確認テスト 1
Q1
x²+7x+12 の因数分解として正しいものはどれですか。
確認
確認テスト 2
Q1
x²-x-6 の因数分解として正しいものはどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
因数分解は和を積へ戻す操作
- 2
展開の逆として考える
- 3
共通因数を先に見る
- 4
展開して検算できる
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