イントロ
逆・裏・対偶と証明の入口
命題を別の向きから見る
PならばQという命題は、逆・裏・対偶という別の形にできます。特に対偶は元の命題と真偽が一致するため、証明の入口になります。
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定義
逆・裏・対偶
- 教科書では
- PならばQに対して、逆はQならばP、裏はPでないならQでない、対偶はQでないならPでないです。
- 言いかえると
- 名前だけ覚えると混乱しやすいので、PとQの位置を入れ替えるのか、否定を付けるのかを分けます。元の命題と真偽が一致するのは対偶です。逆・裏・対偶は、PとQを入れ替える操作と、否定を付ける操作の組み合わせです。表を作ると、どの命題がどの形かを整理できます。
比較
| 形 | 命題 | 元との関係 |
|---|---|---|
| 元 | P ⇒ Q | 基準 |
| 逆 | Q ⇒ P | 真偽は一致しないことがある |
| 対偶 | Qでない ⇒ Pでない | 真偽が一致する |
形元
- 命題
- P ⇒ Q
- 元との関係
- 基準
形逆
- 命題
- Q ⇒ P
- 元との関係
- 真偽は一致しないことがある
形対偶
- 命題
- Qでない ⇒ Pでない
- 元との関係
- 真偽が一致する
証明で特に大切なのは、元の命題と対偶の真偽が一致することです。
要点
対偶は証明で使える
直接PからQを示しにくいとき、対偶を考えると示しやすくなることがあります。
- 1
元と対偶は真偽が一致
- 2
逆は元と同じとは限らない
- 3
否定を付ける位置に注意
- 4
証明では対偶が有力な言い換え
例
- 場面
- 『n²が偶数ならnは偶数』の対偶を考える。
- 順に考えると
- 元の命題を直接示すのが難しいとき、対偶を作ります。対偶は『nが偶数でない、つまり奇数なら、n²は偶数でない、つまり奇数』です。奇数の2乗は奇数と示せれば、元の命題も成り立ちます。対偶を使うときは、元の命題の結論を否定した形から出発します。奇数や偶数のように否定が扱いやすい題材では、直接証明より見通しがよくなります。
- ここが結論
- 対偶は、元の命題を別の形で証明する道具になります。
手順
対偶を書く手順
- 1
元の命題をP⇒Qに分ける
- 2
PとQを入れ替える
- 3
両方に『でない』を付ける
- 4
示しやすい形か確認する
要点
背理法の入口
背理法は、結論が成り立たないと仮定して矛盾を導く考え方です。ここでは名前と発想だけ押さえ、長い証明は扱いません。
- 1
結論の否定を仮定する
- 2
矛盾が出れば元の結論を認める
- 3
対偶法とは別の証明の入口
注意
逆は元と同じとは限らない
要点
4つの形を作る手順
証明問題に入る前に、元・逆・裏・対偶を記号で並べ、真偽が一致する相手を確認します。
- 1
逆はPとQを入れ替える
- 2
裏は両方を否定する
- 3
対偶は入れ替えて否定する
- 4
元と対偶は真偽が一致する
確認
確認テスト 1
Q1
『PならばQ』の対偶はどれですか。
確認
確認テスト 2
Q1
ある命題の対偶が真であることを証明できたとき、元の命題について何がいえますか。
まとめ
まとめ
- 1
逆はQ⇒P、裏はPでない⇒Qでない
- 2
対偶はQでない⇒Pでない
- 3
元の命題と対偶は真偽が一致する
- 4
直接難しいときは対偶を考える
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