必要条件・十分条件

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イントロ

条件の強さを矢印で読む

必要条件と十分条件は、言葉の印象だけで覚えると混乱しやすい単元です。PならばQの矢印を書いて、出発側と到着側で読み分けます。

定義

教科書では: PならばQが成り立つとき、PはQの十分条件、QはPの必要条件です。
言いかえると: Pが成り立てばQまで言えるので、PはQであるために十分です。一方、PであるためにはQが欠かせないので、QはPであるために必要です。必要条件と十分条件は、言葉だけで覚えると混乱しやすい概念です。矢印を使って『どちらからどちらが言えるか』を確認します。

要点

日常語の『必要そう』『十分そう』ではなく、命題の向きを見て判断します。

例

場面: 『4の倍数なら偶数』で考える。
順に考えると: 4の倍数であれば必ず偶数です。つまり『4の倍数 ⇒ 偶数』が成り立ちます。このとき、出発側の『4の倍数であること』は偶数であるための十分条件、到着側の『偶数であること』は4の倍数であるための必要条件です。偶数なら必ず4の倍数とは言えないので、十分条件ではありません。
ここが結論: 矢印の向きを決めると、必要と十分を機械的に読めます。

手順

比較

関係P ⇒ Q

関係P ⇒ Q

関係P ⇔ Q

同じ命題から、十分条件と必要条件を反対側として読みます。

注意

要点

日本語だけで判断せず、P⇒Q と Q⇒P の両方を書いて真偽を分けます。

確認

『4の倍数なら偶数』が成り立つとき、偶数であることは4の倍数であるための何条件ですか。

確認

正方形であることは、長方形であるための何条件ですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

命題の逆・裏・対偶を作り、元の命題と対偶の真偽が一致することを整理します。基本例とよくある誤解も確認します。