実数と数直線

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イントロ

数を同じ線の上で見る

高校数学では、整数も分数も平方根も同じ数直線上で扱います。数の種類を地図のように整理すると、根号や不等式の学習がつながりやすくなります。

定義

教科書では: 数直線上の点として表せる数のまとまりです。
言いかえると: 自然数、整数、有理数、無理数は、ばらばらの別世界ではありません。これらをまとめて実数と考えると、大小や距離を数直線でまとめて扱えます。分類名を暗記するだけでなく、どの範囲がどの範囲を含むかを図で追うと、後の不等式や絶対値でも同じ数直線を使えます。

要点

分類問題では、どの大きな範囲に含まれるかを順に見ると迷いにくくなります。

比較

数の種類整数

数の種類有理数

数の種類無理数

有理数か無理数かを分けるときは、小数の見た目だけでなく分数で表せるかを見ます。

例

場面: -2、0、3/4、√2、π を分類する。
順に考えると: -2 と 0 は整数なので有理数でもあり、実数でもあります。3/4 は分数で表せるので有理数です。√2 と π は分数で表せない数として扱うので無理数ですが、どちらも数直線上に置ける実数です。学校の問題では、最も狭い分類を答えさせる場合と、当てはまる分類をすべて答えさせる場合があります。設問の聞き方も確認します。
ここが結論: 分類は1つだけ選ぶのではなく、大きな範囲にも含まれると読むのが大切です。

注意

要点

数の名前を一つだけ探すのではなく、分数で表せるか、整数か、無理数かを順に確認します。

確認

√2について正しい説明はどれですか。

確認

実数全体の分け方として正しいものはどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

有理数と無理数を、分数で表せるか、有限小数・循環小数・循環しない無限小数の違いから整理します。基本例とよくある誤解も確認します。