イントロ
距離条件から作る軌跡
動点を置いて式にする
距離で条件が与えられたら、動点を P(x,y) と置きます。距離の二乗で比べると、軌跡の式が整理しやすくなります。
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定義
距離条件の軌跡
- 教科書では
- 動点Pが満たす距離の条件を式にして求める軌跡です。
- 言いかえると
- P(x,y) と置き、PA=PB などの条件を距離公式で表します。平方根を残すより、距離の二乗を比べると整理しやすいです。
公式
距離を式にする
平方根を避けるため、距離の二乗で比べます。
等距離
PA=PB -> PA2=PB2
2点からの距離が等しい条件を式にする。
距離一定
PA=r
中心A、半径rの円になる。
解くコツ
まず動点を P(x,y) と置きます。
手順
軌跡を求める手順
- 1
動点を P(x,y) と置く
- 2
条件を距離の式にする
- 3
必要なら二乗して整理する
- 4
できた式の図形を読む
- 5
最後に元の条件の言葉へ戻す
比較
| 距離条件 | 軌跡 | 理由 |
|---|---|---|
| PA=r | 円 | Aから一定距離 |
| PA=PB | 垂直二等分線 | A,Bから等距離 |
| x=2 | 直線 | x座標が一定 |
距離条件PA=r
- 軌跡
- 円
- 理由
- Aから一定距離
距離条件PA=PB
- 軌跡
- 垂直二等分線
- 理由
- A,Bから等距離
距離条件x=2
- 軌跡
- 直線
- 理由
- x座標が一定
距離条件から、円になる場合と直線になる場合を区別します。
要点
動点Pを置いて距離を式にする
距離条件から軌跡を作るときは、動く点を P(x,y) と置きます。距離の条件を式にし、整理した結果がどんな図形かを読みます。 整理した式が表す図形名まで答えると、軌跡として伝わります。
- 1
動点を P(x,y) と置く
- 2
PA=PB は二乗して比べる
- 3
距離一定なら円になる
- 4
整理後の式から図形を読む
例
- 場面
- A(0,0)、B(4,0) から等距離の点Pの軌跡を求める。
- 順に考えると
- P(x,y) とすると、PA²=x²+y²、PB²=(x-4)²+y²。PA=PB なので二乗した式を等しくし、整理して x=2。軌跡は線分ABの垂直二等分線です。
- ここが結論
- 等距離の軌跡は円とは限らず、直線になることがあります。条件が「一定」か「等しい」かを見分けます。
手順
答えの確かめ方
- 1
P(x,y) を置いたか確認する
- 2
距離条件を式に直す
- 3
平方根を残さず二乗で整理する
- 4
得られた式が直線か円か読む
- 5
元の条件を満たす点全体か確認する
注意
軌跡は円だけではない
確認
確認テスト
Q1
2点A,Bから等距離にある点Pの軌跡はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
動点を P(x,y) と置く
- 2
距離条件は二乗で整理しやすい
- 3
等距離は垂直二等分線になる代表例
- 4
式の形だけでなく点全体の意味を読む
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