連立不等式の領域と最大・最小

イントロ

重なった範囲から値を読む

連立不等式では、複数の条件を同時に満たす共通部分を考えます。簡単な最大・最小は、領域の頂点を調べる入口から始めます。

定義

連立不等式の領域

教科書では: 複数の不等式を同時に満たす点を集めた共通部分です。
言いかえると: それぞれの不等式が表す領域を描き、重なった部分だけを残します。一次式の最大・最小では、まず領域の頂点を候補として調べます。

3つの不等式の共通部分として三角形領域を描き、頂点で目的式の値を比べる図 — 連立不等式は領域の重なりを見る。最大・最小は頂点を候補にして代入する。

公式

共通領域と目的式

条件を満たす範囲と、調べたい値を分けて考えます。

連立不等式

各領域の共通部分

すべての不等式を満たす点だけを残す。

目的式

z=ax+by

領域内の点で値がどう変わるかを見る式。

解くコツ

閉じた多角形領域では、まず頂点を調べる入口から始めます。

手順

考える順序

1
各不等式の境界を描く
2
それぞれの塗る側を決める
3
共通部分だけを残す
4
頂点を求める
5
目的式に代入する

要点

頂点を見る理由

最大・最小では、領域を描く問題と値を比べる問題が重なっています。先に範囲を確定してから目的式を調べます。

1
一次式の値は直線の動きで読める
2
端の点が候補になりやすい
3
まず頂点を代入して比べる

比較

場面	見るもの	注意
1つの不等式	片側の領域	境界と代表点
連立不等式	共通部分	重なりだけ残す
最大・最小	頂点の値	目的式に代入

場面1つの不等式

見るもの: 片側の領域
注意: 境界と代表点

場面連立不等式

見るもの: 共通部分
注意: 重なりだけ残す

場面最大・最小

見るもの: 頂点の値
注意: 目的式に代入

領域を描く作業と、値を調べる作業を分けます。

要点

共通部分と目的式を分ける

連立不等式では、まずすべての条件を満たす共通領域を作ります。最大・最小を調べる式は、その後で領域上の点に代入します。

1
各不等式の領域を描く
2
重なった部分だけを残す
3
目的式は別に扱う
4
頂点を候補にして比べる

例

場面: x≥0, y≥0, x+y≤4 の領域で x+2y の最大を考える。
順に考えると: 共通領域は三角形です。頂点 (0,0),(4,0),(0,4) で x+2y を調べると、0,4,8 なので最大は 8 です。
ここが結論: まず領域の頂点を候補として確認します。

手順

答えの確かめ方

1
各境界線を描く
2
それぞれの塗る側を決める
3
共通部分だけを残す
4
頂点の座標を求める
5
目的式に代入して値を比べる

注意

どの点でも最大ではない

確認

確認テスト

Q1

三角形領域で一次式の最大を調べる入口として、まず候補にしやすい点はどれですか。

まとめ

1
連立不等式は共通部分を見る
2
最大・最小では目的式を分けて考える
3
まず領域の頂点を候補として調べる
4
領域づくりと値の比較を分ける