相加平均・相乗平均の関係

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イントロ

使う前に正の条件を見る

相加相乗平均の関係は、最小値を見つける強い道具です。ただし、対象が正の数であることを確認してから使います。ここでは、形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する流れまで押さえます。

定義

相加平均・相乗平均

教科書では: 正の数 a,b について、(a+b)/2 は √ab 以上になるという関係です。
言いかえると: この関係を使うと、和の形の式の下限を見つけられることがあります。等号が成り立つ条件も一緒に確認します。正の数で使う条件と、等号が成り立つ条件をセットで見ると、最小値問題に結び付けやすくなります。

条件を確認してから使うをカードで整理した図 — 正の数であることと、等号成立を忘れない図は、考える順番と対応関係だけに絞っています。細かい計算は例題カードで確認します。

公式

相加相乗平均の関係

使える条件まで含めて覚えます。

基本形

(a+b)2 >= √ab

a,b が正の数のとき成り立ちます。

使うときのコツ

等号は a=b

変形

a+b >= 2√ab

両辺を2倍した形です。

使うときのコツ

よく使う形

解くコツ

使う前に、2つの量がどちらも正かを確認します。式を使った後は、符号、条件、元の式へ戻るかを短く確認します。

要点

使う前の確認

公式や手順に入る前に、何の形を見ているかを言葉にします。2つの量を選ぶことから始め、最後に条件と結果を確かめると、符号や範囲のミスを見つけやすくなります。解答では、最初に見た形と最後の確認を短く残します。

1
2つの量を選ぶ
2
どちらも正か確認する
3
相加平均は相乗平均以上
4
正の条件を先に確認する

手順

進め方

1
2つの量を選ぶ
2
どちらも正か確認する
3
公式を当てはめる
4
等号成立条件を調べる
5
最後に条件と結果を確認する

例

場面: x>0 のとき x+4/x の最小値を考える。
順に考えると: x と 4/x はどちらも正です。相加相乗平均より x+4/x ≥ 2√x・4/x=4。等号は x=4/x、つまり x=2 のときです。正の範囲で使えることと、等号条件が満たせることを確認します。
ここが結論: 最小値は4です。条件 x>0 を先に確認しています。等号が成り立つ値も答えに添えて、最小値だけで終わらないようにします。

比較

場面	見る量	判断
使える	x>0, xと4/x	両方正
注意	負の数を含む	そのまま不可
等号	a=b	最小値の候補

場面使える

見る量: x>0, xと4/x
判断: 両方正

場面注意

見る量: 負の数を含む
判断: そのまま不可

場面等号

見る量: a=b
判断: 最小値の候補

似た形との違いを先に見ると、使う操作を選びやすくなります。迷ったら、どの条件が成り立っているかを言葉に直します。

注意

正の条件なしに使わない

確認

確認テスト

相加相乗平均の関係を使う前に必ず確認することはどれですか。

まとめ

1
相加平均は相乗平均以上
2
正の条件を先に確認する
3
等号成立は a=b
4
最小値判断に使えることがある
5
形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する

次に進む

この流れのまま学習を広げる

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

いろいろな式

複素数と虚数単位

虚数単位 i と複素数 a+bi の形を、二次方程式の解を広げるために理解するトピックです。