イントロ
複素数と虚数単位
解けない方程式に解を与える
実数だけでは x²+1=0 は解けません。i を導入すると、二次方程式の解をより広い範囲で表せます。 ここでは、形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する流れまで押さえます。
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定義
虚数単位 i
- 教科書では
- i²=-1 を満たす数として導入される記号です。
- 言いかえると
- a+bi の形で表される数を複素数といいます。a は実部、b は虚部です。実数は b=0 の複素数として含まれます。 i²=-1 という約束から、実数だけでは表せなかった解も扱えるようになります。
公式
複素数の基本
まず i の性質と a+bi の形を押さえます。
虚数単位
i2=-1
負の数の平方根を表す入口です。
使うときのコツ
√-1=i
複素数
a+bi
a を実部、b を虚部といいます。
使うときのコツ
a,b は実数
解くコツ
i は普通の文字ではなく、二乗すると -1 になる数として扱います。 式を使った後は、符号、条件、元の式へ戻るかを短く確認します。
要点
使う前の確認
公式や手順に入る前に、何の形を見ているかを言葉にします。実数では解けない式を見ることから始め、最後に条件と結果を確かめると、符号や範囲のミスを見つけやすくなります。解答では、最初に見た形と最後の確認を短く残します。
- 1
実数では解けない式を見る
- 2
i²=-1 を導入する
- 3
i は i²=-1 を満たす
- 4
複素数は a+bi の形
手順
進め方
- 1
実数では解けない式を見る
- 2
i²=-1 を導入する
- 3
a+bi の形で表す
- 4
実部と虚部を分けて読む
- 5
最後に条件と結果を確認する
例
- 場面
- x²+1=0 の解を考える。
- 順に考えると
- x²=-1 なので、実数では解がありません。i²=-1 とすることで、x=i と x=-i が解として表せます。 i² が -1 になる約束を使って、実数部分まで整理します。
- ここが結論
- 複素数の範囲では、この方程式にも解があります。 i を普通の文字のまま扱っていないか確認します。実部と虚部を分けて読む意識も持ちます。
比較
| 種類 | 形 | 見る点 |
|---|---|---|
| 実数 | a | 虚部0 |
| 純虚数 | bi | 実部0 |
| 複素数 | a+bi | 実部と虚部 |
種類実数
- 形
- a
- 見る点
- 虚部0
種類純虚数
- 形
- bi
- 見る点
- 実部0
種類複素数
- 形
- a+bi
- 見る点
- 実部と虚部
似た形との違いを先に見ると、使う操作を選びやすくなります。迷ったら、どの条件が成り立っているかを言葉に直します。
注意
虚数解も解として扱う
確認
確認テスト
Q1
i² の値はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
i は i²=-1 を満たす
- 2
複素数は a+bi の形
- 3
実部と虚部を分けて読む
- 4
数の範囲を広げて方程式を扱う
- 5
形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する
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