イントロ
二項定理の係数
係数の並びを見通す
三乗より高い展開では、毎回すべて掛けると大変です。係数の並びを知ると、展開を見通せます。 ここでは、形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する流れまで押さえます。
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定義
二項定理
- 教科書では
- (a+b)ⁿ の展開で、各項の係数と指数の並びを表す考え方です。
- 言いかえると
- 初めはパスカルの三角形で係数を読みます。a の指数は下がり、b の指数は上がるので、係数と指数を分けて見ると整理できます。 係数の並びと指数の下がり方を同時に見ると、中間項を落としにくくなります。
公式
二項定理の入口
一般形は係数と指数の並びで読みます。
基本形
(a+b)n の係数は 1, n, ... と並ぶ
係数はパスカルの三角形で読めます。
使うときのコツ
nCr は係数の記号
指数
a は n から下がり、b は 0 から上がる
指数の合計はいつも n です。
使うときのコツ
項の順に確認
解くコツ
組合せ記号が未習でも、係数表から始めれば使えます。 式を使った後は、符号、条件、元の式へ戻るかを短く確認します。
要点
使う前の確認
公式や手順に入る前に、何の形を見ているかを言葉にします。n に対応する係数列を読むことから始め、最後に条件と結果を確かめると、符号や範囲のミスを見つけやすくなります。解答では、最初に見た形と最後の確認を短く残します。
- 1
n に対応する係数列を読む
- 2
a の指数を下げる
- 3
二項定理は係数の並びを読む道具
- 4
パスカルの三角形から係数を取れる
手順
進め方
- 1
n に対応する係数列を読む
- 2
a の指数を下げる
- 3
b の指数を上げる
- 4
係数と文字を組み合わせる
- 5
最後に条件と結果を確認する
例
- 場面
- (x+1)⁴ を展開する。
- 順に考えると
- 係数は 1,4,6,4,1 です。x の指数は 4,3,2,1,0 と下がるので、x⁴+4x³+6x²+4x+1 になります。 係数列と指数の変化を別々に確認します。
- ここが結論
- 1 のべきは省略できるので、係数と x の指数だけを丁寧に並べます。 展開後は次数が4から0までそろっているか確認します。
比較
| 場面 | 係数 | 使い方 |
|---|---|---|
| 三次公式 | 1,3,3,1 | 公式で覚える |
| 四次 | 1,4,6,4,1 | 係数列で読む |
| nCr | 係数の表現 | 必要なら使う |
場面三次公式
- 係数
- 1,3,3,1
- 使い方
- 公式で覚える
場面四次
- 係数
- 1,4,6,4,1
- 使い方
- 係数列で読む
場面nCr
- 係数
- 係数の表現
- 使い方
- 必要なら使う
似た形との違いを先に見ると、使う操作を選びやすくなります。迷ったら、どの条件が成り立っているかを言葉に直します。
注意
係数を全部1にしない
確認
確認テスト
Q1
(x+1)⁴ の x² の係数はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
二項定理は係数の並びを読む道具
- 2
パスカルの三角形から係数を取れる
- 3
a の指数は下がり b は上がる
- 4
係数と指数を分けて確認する
- 5
形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する
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