多項式の除法

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イントロ

商と余りで戻して見る

多項式も割り算ができます。商と余りを、整数の割り算と同じ構造で見ると、剰余の定理へつながります。ここでは、形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する流れまで押さえます。

定義

教科書では: 多項式を別の多項式で割り、商と余りを求める計算です。
言いかえると: 計算後は、割られる式 = 割る式×商 + 余りの形で元に戻るか確認します。余りの次数は、割る式の次数より低くなります。割られる式 = 割る式×商 + 余り、という形に戻せることが確認の基準です。

公式

多項式の除法も、戻す式で確認できます。

除法の関係

A=BQ+R

A は割られる式、B は割る式です。

使うときのコツ

R の次数は B より低い

解くコツ

余りを書き忘れないよう、最後に関係式で検算します。式を使った後は、符号、条件、元の式へ戻るかを短く確認します。

要点

公式や手順に入る前に、何の形を見ているかを言葉にします。最高次の項をそろえることから始め、最後に条件と結果を確かめると、符号や範囲のミスを見つけやすくなります。解答では、最初に見た形と最後の確認を短く残します。

手順

例

場面: x²+5x+8 を x+2 で割る。
順に考えると: 商は x+3、余りは 2 です。戻すと (x+2)(x+3)+2=x²+5x+8 となり、元の式に一致します。商と余りを出したら、割る式×商+余りで戻します。
ここが結論: 割り算の結果は、商だけでなく余りまでセットで書きます。戻し算で元の多項式に一致するか見ます。

比較

対象整数

対象多項式

対象検算

似た形との違いを先に見ると、使う操作を選びやすくなります。迷ったら、どの条件が成り立っているかを言葉に直します。

注意

確認

P(x)=(x+1)(x+2)+3 と書けるとき、P(x) を x+1 で割った余りはどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

多項式を x-a で割った余りを、割り算ではなく代入で求める考えを学ぶトピックです。