複素数の四則計算

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イントロ

実部と虚部を分けて整理する

複素数も計算できます。加減は同じ種類を集め、乗法では i²=-1 を使って整理します。ここでは、形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する流れまで押さえます。

定義

複素数の計算

教科書では: a+bi の形の数を、実部と虚部に分けながら計算することです。
言いかえると: 加法・減法では実部どうし、虚部どうしをまとめます。乗法では展開したあと、i² を -1 に置き換えて整理します。実部と虚部を分け、i²が出たら -1 に置き換える順番を固定します。

実部カードと虚部カードに分けるをカードで整理した図 — 最後は a+bi の形へ戻す図は、考える順番と対応関係だけに絞っています。細かい計算は例題カードで確認します。

公式

複素数の計算ルール

普通の文字式のように計算し、最後に i² を処理します。

加法

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

実部と虚部をそれぞれ足します。

使うときのコツ

同じ種類を集める

基本

i²=-1

乗法のあとに必ず使います。

使うときのコツ

最後に整理

解くコツ

計算結果は a+bi の形に整えます。式を使った後は、符号、条件、元の式へ戻るかを短く確認します。

要点

使う前の確認

公式や手順に入る前に、何の形を見ているかを言葉にします。かっこを外すことから始め、最後に条件と結果を確かめると、符号や範囲のミスを見つけやすくなります。解答では、最初に見た形と最後の確認を短く残します。

1
かっこを外す
2
実部と虚部を分ける
3
加減は実部・虚部を分ける
4
乗法は展開して i²=-1 を使う

手順

進め方

1
かっこを外す
2
実部と虚部を分ける
3
i² が出たら -1 にする
4
a+bi の形に整理する
5
最後に条件と結果を確認する

例

場面: (1+i)² を計算する。
順に考えると: (1+i)²=1+2i+i² です。i²=-1 なので、1+2i-1=2i になります。展開後に i² を -1 に直す場所を確認します。
ここが結論: i² をそのまま残さず、-1 に置き換えます。最後は実部と虚部の形に整理できているか見ます。

比較

計算	動き	注意
加減	同類項を集める	実部・虚部
乗法	展開する	i²を処理
除法	共役を使う	入口だけ

計算加減

動き: 同類項を集める
注意: 実部・虚部

計算乗法

動き: 展開する
注意: i²を処理

計算除法

動き: 共役を使う
注意: 入口だけ

似た形との違いを先に見ると、使う操作を選びやすくなります。迷ったら、どの条件が成り立っているかを言葉に直します。

注意

i² を残さない

確認

確認テスト

(1+i)² の計算結果はどれですか。

まとめ

1
加減は実部・虚部を分ける
2
乗法は展開して i²=-1 を使う
3
結果は a+bi の形にする
4
共役は除法で使う入口になる
5
形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する

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この流れのまま学習を広げる

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