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三次の展開公式
4つの項と符号を読む
三次の展開では、二乗公式より項が増えます。係数の並びと符号を先に確認すると、公式を暗記だけでなく安全に使えます。 ここでは、形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する流れまで押さえます。
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定義
三次の展開
- 教科書では
- (a+b)³ や (a-b)³ を、和の形に広げる操作です。
- 言いかえると
- 三乗では a³、a²b、ab²、b³ の4種類の項が出ます。特に係数 1,3,3,1 と、差の三乗で符号が交互に変わることを確認します。 三次の公式は符号と係数3が得点差になります。二乗公式の延長として項の並びを確認します。
公式
三次の乗法公式
まずこの2つを、符号までセットで押さえます。
和の三乗
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
係数は 1,3,3,1 の順に並びます。
使うときのコツ
a,b は式や数
差の三乗
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
真ん中の符号は交互に変わります。
使うときのコツ
符号を先に確認
解くコツ
公式に入れる前に、a と b に当たる部分を決めます。 式を使った後は、符号、条件、元の式へ戻るかを短く確認します。
要点
使う前の確認
公式や手順に入る前に、何の形を見ているかを言葉にします。形が (a±b)³ か見ることから始め、最後に条件と結果を確かめると、符号や範囲のミスを見つけやすくなります。解答では、最初に見た形と最後の確認を短く残します。
- 1
形が (a±b)³ か見る
- 2
a と b を決める
- 3
三次の展開は4項になる
- 4
係数は 1,3,3,1
手順
進め方
- 1
形が (a±b)³ か見る
- 2
a と b を決める
- 3
係数 1,3,3,1 を並べる
- 4
差なら符号を確認する
- 5
最後に条件と結果を確認する
例
- 場面
- (x+2)³ を展開する。
- 順に考えると
- a=x、b=2 と見ると、x³+3x²・2+3x・2²+2³ です。整理して x³+6x²+12x+8 になります。 aとbに何を入れたかを先に決め、係数3の項を落とさないようにします。
- ここが結論
- a と b を決めてから代入すると、中間項を落としにくくなります。 展開後は同類項がないか、元の式に戻るかを確認します。
比較
| 形 | 公式 | 見る点 |
|---|---|---|
| 二乗 | (a+b)² | 3項 |
| 三乗 | (a+b)³ | 4項 |
| 差の三乗 | (a-b)³ | 符号に注意 |
形二乗
- 公式
- (a+b)²
- 見る点
- 3項
形三乗
- 公式
- (a+b)³
- 見る点
- 4項
形差の三乗
- 公式
- (a-b)³
- 見る点
- 符号に注意
似た形との違いを先に見ると、使う操作を選びやすくなります。迷ったら、どの条件が成り立っているかを言葉に直します。
注意
a³+b³ だけにしない
確認
確認テスト
Q1
(x-1)³ の展開として正しいものはどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
三次の展開は4項になる
- 2
係数は 1,3,3,1
- 3
差の三乗は符号を先に見る
- 4
a と b を決めてから代入する
- 5
形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する
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