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三次式の因数分解公式
和や差の立方を分ける
三次式は、公式で一次式と二次式の積に分けられることがあります。高次方程式へ進む前の大事な道具です。 ここでは、形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する流れまで押さえます。
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定義
三次式の因数分解
- 教科書では
- a³+b³ や a³-b³ を、積の形へ戻す操作です。
- 言いかえると
- 展開公式の逆向きとして見ると、一次の因数と二次の因数に分かれる理由を確認できます。和と差で二次式側の符号が入れ替わります。 和・差の立方と、(a±b)³は別の公式です。一次因数と二次因数に分かれる形を覚えます。
公式
和・差の立方
符号の並びを、公式ごとに分けて覚えます。
和の立方
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
一次因数は a+b です。
使うときのコツ
二次式の中央は -ab
差の立方
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
一次因数は a-b です。
使うときのコツ
二次式の中央は +ab
解くコツ
何かの3乗どうしの和か差かを最初に見ます。 式を使った後は、符号、条件、元の式へ戻るかを短く確認します。
要点
使う前の確認
公式や手順に入る前に、何の形を見ているかを言葉にします。3乗どうしの和か差か見ることから始め、最後に条件と結果を確かめると、符号や範囲のミスを見つけやすくなります。解答では、最初に見た形と最後の確認を短く残します。
- 1
3乗どうしの和か差か見る
- 2
a と b を決める
- 3
a³±b³ の形を探す
- 4
和と差で二次式側の符号が違う
手順
進め方
- 1
3乗どうしの和か差か見る
- 2
a と b を決める
- 3
公式に当てはめる
- 4
展開で軽く検算する
- 5
最後に条件と結果を確認する
例
- 場面
- x³-8 を因数分解する。
- 順に考えると
- 8=2³ なので、x³-2³ と見ます。差の立方の公式より、(x-2)(x²+2x+4) です。 8を2³と見て、差の立方公式に当てはめます。
- ここが結論
- x-2 と x²+2x+4 を掛けると x³-8 に戻ります。 掛け戻して元の三次式になるか確認します。
比較
| 形 | 使う公式 | 注意 |
|---|---|---|
| a³+b³ | (a+b)(a²-ab+b²) | 中央は -ab |
| a³-b³ | (a-b)(a²+ab+b²) | 中央は +ab |
| (a+b)³ | 展開公式 | 別物 |
形a³+b³
- 使う公式
- (a+b)(a²-ab+b²)
- 注意
- 中央は -ab
形a³-b³
- 使う公式
- (a-b)(a²+ab+b²)
- 注意
- 中央は +ab
形(a+b)³
- 使う公式
- 展開公式
- 注意
- 別物
似た形との違いを先に見ると、使う操作を選びやすくなります。迷ったら、どの条件が成り立っているかを言葉に直します。
注意
(a+b)³ と混ぜない
確認
確認テスト
Q1
x³+27 の因数分解として正しいものはどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
a³±b³ の形を探す
- 2
和と差で二次式側の符号が違う
- 3
因数分解後は展開で検算する
- 4
(a+b)³ と混同しない
- 5
形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する
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