因数定理

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イントロ

0になる値が因数を教える

高次式の因数は、代入して0になる値から見つけられます。高次方程式を解く入口です。ここでは、形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する流れまで押さえます。

定義

教科書では: P(a)=0 なら、x-a が P(x) の因数であるという定理です。
言いかえると: 剰余の定理で余りが P(a) なので、P(a)=0 なら余り0です。つまり x-a で割り切れます。 P(a)=0 を見つけることが、因数 x-a を見つける合図になります。

公式

剰余の定理の余りが0になる場合です。

因数定理

P(a)=0 ⇔ x-a が因数

0になる値 a が一次因数を決めます。

使うときのコツ

P(-2)=0 なら x+2

解くコツ

小さな整数を代入し、0になる値を探します。式を使った後は、符号、条件、元の式へ戻るかを短く確認します。

要点

公式や手順に入る前に、何の形を見ているかを言葉にします。候補の値を代入することから始め、最後に条件と結果を確かめると、符号や範囲のミスを見つけやすくなります。解答では、最初に見た形と最後の確認を短く残します。

手順

例

場面: P(x)=x³-3x²+2 で P(1)=0 と分かった。
順に考えると: P(1)=0 なので、因数定理より x-1 が P(x) の因数です。多項式の除法を使えば、残りの因数を調べられます。 P(1)=0 から x-1 が因数だと読み、商へつなげます。
ここが結論: 0になる値と因数の符号の対応を確認します。候補を代入して0になるかを検算します。候補を表にすると、見落としも減ります。

比較

条件P(2)=0

条件P(-2)=0

条件P(0)=0

似た形との違いを先に見ると、使う操作を選びやすくなります。迷ったら、どの条件が成り立っているかを言葉に直します。

注意

確認

P(-2)=0 のとき、P(x) の因数として正しいものはどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

高次方程式を因数分解し、一次方程式や二次方程式へ分けて解く流れを学ぶトピックです。