イントロ
高次方程式の解き方
高次を低次へほどく
三次以上の方程式は、そのまま特別な公式で解くより、因数分解して低い次数の方程式に分けます。 ここでは、形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する流れまで押さえます。
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定義
高次方程式
- 教科書では
- 三次以上の項を含む方程式です。
- 言いかえると
- 基本方針は、高次のまま解こうとせず、因数分解して一次方程式や二次方程式に分けることです。因数定理で最初の因数を見つけることがあります。 高次方程式は、因数分解して一次・二次の方程式へ分けると解きやすくなります。
要点
解き方の目印
公式暗記より、どの情報を見て次の操作を選ぶかを先に決めます。小さな整数を代入することから始め、最後に条件と結果を確かめると、解答の根拠が残ります。答えだけを書かず、どの条件を使ったかを一文で残すと、同じ形の別問題でも手順を再現できます。迷ったときは、例題と同じ順に小さく書き出し、最後の一行で答えを確かめます。
- 1
まず因数を1つ探す
- 2
積=0 なら各因数=0
- 3
二次因数は解の公式も使う
- 4
解を1つで止めない
手順
進め方
- 1
小さな整数を代入する
- 2
因数定理で因数を見つける
- 3
因数分解する
- 4
各因数を0として解く
- 5
解をすべて集める
- 6
最後に条件と結果を確認する
例
- 場面
- x³-6x²+11x-6=0 を解く。
- 順に考えると
- x=1 を代入すると0になるので x-1 が因数です。因数分解すると (x-1)(x-2)(x-3)=0 となり、解は x=1,2,3 です。 整数解の候補を試し、因数分解してから各因数を0にします。
- ここが結論
- 1つの因数が見つかったら、残りも分解してすべての解を出します。 出た解を元の方程式に代入して確認します。最後に求めた値を元の式へ戻すと、解の取りこぼしや計算ミスを確認できます。二次因数が残ったら、判別式や解の公式も選択肢に入れます。
比較
| 種類 | 入口 | 道具 |
|---|---|---|
| 三次方程式 | 因数を探す | 因数定理 |
| 複二次方程式 | x²を置く | 二次へ |
| 共通方針 | 低次へ分ける | 積=0 |
種類三次方程式
- 入口
- 因数を探す
- 道具
- 因数定理
種類複二次方程式
- 入口
- x²を置く
- 道具
- 二次へ
種類共通方針
- 入口
- 低次へ分ける
- 道具
- 積=0
似た形との違いを先に見ると、使う操作を選びやすくなります。迷ったら、どの条件が成り立っているかを言葉に直します。
注意
1つの解で終わらない
確認
確認テスト
Q1
(x-1)(x+2)=0 の解として正しいものはどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
高次方程式は因数分解して解く
- 2
因数定理で因数を探せる
- 3
積=0 なら各因数=0
- 4
解を漏れなく集める
- 5
形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する
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