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等式の証明
計算を根拠に変える
等式の証明では、いくつかの数で確かめるだけでは足りません。式変形で、すべての場合に成り立つことを示します。 ここでは、形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する流れまで押さえます。
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定義
等式の証明
- 教科書では
- 等式が常に成り立つことを、式変形によって示すことです。
- 言いかえると
- 左辺を右辺へ変形する、両辺を同じ式へ変形する、左辺−右辺が0になることを示す、という方針があります。 証明では、片方を変形してもう片方にそろえる方針を先に決めます。
要点
解き方の目印
公式暗記より、どの情報を見て次の操作を選ぶかを先に決めます。示したい等式を確認することから始め、最後に条件と結果を確かめると、解答の根拠が残ります。答えだけを書かず、どの条件を使ったかを一文で残すと、同じ形の別問題でも手順を再現できます。迷ったときは、例題と同じ順に小さく書き出し、最後の一行で答えを確かめます。
- 1
複雑な側から変形する
- 2
目標の形を先に見る
- 3
左辺−右辺=0 も使える
- 4
代入だけで終わらせない
手順
進め方
- 1
示したい等式を確認する
- 2
変形しやすい側を選ぶ
- 3
展開や因数分解で整理する
- 4
反対側と一致することを書く
- 5
最後に条件と結果を確認する
例
- 場面
- (a+b)²-(a-b)²=4ab を証明する。
- 順に考えると
- 左辺を展開すると、a²+2ab+b²-(a²-2ab+b²) です。整理すると 4ab となり、右辺と一致します。 左辺を展開して右辺と同じ形になることを示します。
- ここが結論
- 文字のまま示したので、すべての a,b で成り立つことが分かります。 最後に左辺=右辺と言える形まで整理します。途中で同じ式にそろえる意識を持つと方針がぶれません。
比較
| 方法 | 例 | 意味 |
|---|---|---|
| 数値確認 | a=1,b=2 で確認 | 一部だけ |
| 証明 | 文字式で変形 | すべての場合 |
| 差を使う | 左辺-右辺=0 | 別方針 |
方法数値確認
- 例
- a=1,b=2 で確認
- 意味
- 一部だけ
方法証明
- 例
- 文字式で変形
- 意味
- すべての場合
方法差を使う
- 例
- 左辺-右辺=0
- 意味
- 別方針
似た形との違いを先に見ると、使う操作を選びやすくなります。迷ったら、どの条件が成り立っているかを言葉に直します。
注意
代入だけでは証明にならない
確認
確認テスト
Q1
等式の証明として最も適切な方針はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
等式証明はすべての場合を示す
- 2
左辺や右辺を同じ形へ変形する
- 3
左辺−右辺=0 も使える
- 4
数値代入だけで終えない
- 5
形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する
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