不等式の証明の基本

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イントロ

差を0以上にする

大小関係を示すには、左辺と右辺の差を見る方法があります。平方は0以上という性質が、証明の根拠になります。ここでは、形を読む、操作を選ぶ、結果を確認する流れまで押さえます。

定義

教科書では: 不等式が常に成り立つことを、式変形と根拠によって示すことです。
言いかえると: A≥B を示したいときは、A-B≥0 を示せば十分です。差が平方の形になると、0以上であることが分かります。差を平方に直せるか、0以上といえる形を探すと、証明の方針を立てやすくなります。

公式

不等式証明の基本根拠です。

平方

(a-b)²>=0

どんな実数でも平方は0以上です。

使うときのコツ

等号は a=b

解くコツ

左辺−右辺を平方や平方の和に変形します。式を使った後は、符号、条件、元の式へ戻るかを短く確認します。

要点

公式や手順に入る前に、何の形を見ているかを言葉にします。左辺−右辺を作ることから始め、最後に条件と結果を確かめると、符号や範囲のミスを見つけやすくなります。解答では、最初に見た形と最後の確認を短く残します。

手順

例

場面: a²+1≥2a を証明する。
順に考えると: 左辺−右辺を作ると a²-2a+1=(a-1)² です。平方は0以上なので、a²+1≥2a が成り立ちます。左辺−右辺を作り、平方の形にして0以上を示します。
ここが結論: 最後に、平方が0以上という根拠を言葉で添えます。どちらからどちらを引いたかを最後までそろえます。

比較

種類等式証明

種類不等式証明

種類注意

似た形との違いを先に見ると、使う操作を選びやすくなります。迷ったら、どの条件が成り立っているかを言葉に直します。

注意

確認

a²-2a+1≥0 と言える理由として正しいものはどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

正の数に対する相加平均・相乗平均の関係を、条件確認と等号成立まで含めて学ぶトピックです。