確率の基本法則・排反・余事象

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イントロ

重なりを見て足し引きする

『AまたはB』の確率は、AとBが重なるかどうかで式が変わります。起こらない場合を見る余事象も、数えにくい場面で役立ちます。確率の足し算では、集合の重なりをそのまま確率の重なりとして読めるようにします。

定義

教科書では: 排反は同時に起こらないこと、余事象はある事象が起こらないことです。
言いかえると: AとBが同時に起こるなら、単に足すと重なりを2回数えます。排反なら重なりがないので足せます。余事象は全体1から引く考えです。排反は、同じ1回の試行でAとBが同時に起こらないという意味です。余事象は、Aが起こる場合と起こらない場合で全体を2つに分ける考えです。

公式

事象の関係を見て使います。加法定理は『または』を扱う公式です。

加法定理

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

AまたはBは、重なりを1回引く。 AまたはBが起こる確率を、AとBを足してから重なりを1回引いて求めます。

余事象

P(A^c)=1-P(A)

Aが起こらない確率は1からAを引く。 Aが起こらない確率は、全体1からAが起こる確率を引いて求めます。

解くコツ

排反ならP(A∩B)=0です。

比較

関係排反

関係重なりあり

関係余事象

どの公式も、全体の中でどの部分を何回数えるかを整えるものです。

要点

排反と独立は別の考えです。余事象を使うときは、AとAでない場合を合わせると必ず全体1になることを利用します。「または」では重なりを確認し、反対が簡単なら余事象を選びます。

例

場面: サイコロで『2以下』または『偶数』が出る確率。
順に考えると: 2以下は{1,2}、偶数は{2,4,6}です。2が重なるので、2+3-1=4通り。確率は4/6=2/3です。 {2}が両方に入っているので、2以下の2通りと偶数の3通りを足した後、その1通りを引きます。
ここが結論: 重なりを見れば、足しすぎを防げます。排反でない例を一度計算しておくと、排反の公式を機械的に使うミスを防げます。

注意

確認

サイコロで『1が出る』と『偶数が出る』は排反ですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

順列・組合せで全体と条件を満たす場合を数え、確率の分母と分子を作る流れを学びます。