重複順列

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イントロ

使い回せるなら候補は減らない

暗証番号のように同じ数字を何度も使える場面では、普通の順列と違って候補が減りません。各場所に同じ数の選択肢があります。『使ったらなくなる』場面か『何度でも選べる』場面かを分けるのが最初の判断です。

定義

教科書では: 同じ候補を何度使ってもよい並べ方です。
言いかえると: 普通の順列では一度使ったものは消えます。重複順列では、1桁目で使った数字も2桁目でまた使えるため、各場所の候補数は同じままです。たとえば暗証番号では、1桁目に7を使っても2桁目で7を使えます。選択肢が減らないため、同じn通りをr回掛けます。

公式

n通りの候補からr回選びます。指数は、同じ選択を何回くり返すかを表します。

重複順列

n^r

n通りの候補を、同じものを許してr個並べる数。 n通りの候補がある選択を、同じ条件でr回くり返すときの数です。

使うときのコツ

先頭に0を置けない番号など、場所ごとに条件が違う場合は別に考えます。

解くコツ

同じ候補をもう一度使ってよいかを先に確認します。

要点

問題文に「同じものを使ってよい」「各桁に0から9を入れる」のような表現があれば、候補が毎回戻ると考えます。候補が減らないなら同じ数をくり返し掛け、異なるものだけを使う条件とは分けます。

比較

場面	候補	式
普通の順列	使うたび減る	10×9×8
重複順列	毎回同じ	10×10×10

場面普通の順列

場面重複順列

候補が減るか残るかで式が変わります。普通の順列は候補が減り、重複順列は候補が戻る、と対比して覚えます。条件の一語で式が大きく変わるため、候補が戻るかどうかを必ず確認します。

例

場面: 0〜9を使って3桁の暗証番号を作る。同じ数字を何度使ってもよい。
順に考えると: 1桁目は10通り、2桁目も10通り、3桁目も10通りです。したがって10³=1000通りです。 000や909のような番号も許されるなら、各桁を同じ10通りとして扱えます。
ここが結論: 同じ数字を使えるので、10×9×8にはなりません。 1000通りは000から999までをすべて含む数で、数字の重なりを除外していません。

注意

確認

数字0〜9で4桁の暗証番号を作る。同じ数字を使えるとき、場合の数はどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

円形に並べるとき、回転して同じ配置を重複して数えないための基準固定と公式を学びます。