重心と中線

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イントロ

中線が集まる点を比で読む

重心は、三角形の3本の中線が交わる点です。中点そのものではなく、中線を頂点側から 2:1 に分ける点として使います。

定義

教科書では: 三角形の3本の中線が交わる点です。各中線を、頂点から重心まで : 重心から中点まで = 2:1 に分けます。
言いかえると: 中線とは、頂点と向かいの辺の中点を結ぶ線です。重心は中線上にありますが、中線を半分にする点ではありません。頂点側が長く、中点側が短い 2:1 の比になります。高校数学Aの図形では、性質の名前だけでなく、図のどの条件から使えるのかまでセットで確認します。

公式

中線上で重心の位置を読むときに使います。

中線の分割

AG:GD = 2:1

D が BC の中点、G が重心なら、頂点 A から G までが長い側です。

使うときのコツ

頂点側が 2 と覚える。

解くコツ

中線全体を3等分して、頂点側に2つ分を取ります。

要点

中点の印がない線には、すぐ重心の比を使わないようにします。

例

場面: 中線 AD=12、重心を G とする。AG と GD を求める。
順に考えると: 重心は中線を頂点側から 2:1 に分けます。全体は 2+1=3 等分なので、1等分は 12÷3=4 です。頂点側の AG は 2等分ぶんで 8、中点側の GD は 1等分ぶんで 4 です。答えを出したあと、使った条件を図に戻して確かめると、別の定理との取り違えを防げます。
ここが結論: 中線全体から分けるときは、3等分を先に考えます。

注意

要点

図形の性質は、根拠を短く言えると定着します。計算結果だけで終わらせず、どの条件からその性質を使ったかを1文で残します。図に印を戻すと、同じ定理を別の形の問題でも使いやすくなります。

確認

中線 AD=15、重心 G があるとき、AG はいくつですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

三角形の3本の線が1点で交わる条件を、辺上の線分比の積から判断する基本として整理します。