イントロ
部分和から一般項を求める
和から1つの項を取り出す
Sₙは第1項から第n項までの和です。SₙとSₙ₋₁の差を見ると、最後に加わった1項aₙだけを取り出せます。
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イントロ
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定義
部分和Sₙ
- 教科書では
- Sₙは、a₁+a₂+...+aₙを表す記号です。
- 言いかえると
- Sₙは1つの項ではなく、そこまでの合計です。Sₙから1つ前の合計Sₙ₋₁を引くと、増えた分であるaₙが残ります。
公式
部分和と一般項
第1項だけは別に確認します。
第1項
a1 = S1
第1項までの和は第1項そのものです。
第n項
an = Sn - Sn-1
n≥2で、最後に増えた1項を取り出します。
使うときのコツ
最後にn=1でも合うか確認します。
解くコツ
n=1の扱いを省略しないことが答案の安定につながります。
手順
解く手順
- 1
S₁でa₁を出す
- 2
Sₙ₋₁を作る
- 3
Sₙ-Sₙ₋₁を計算する
- 4
n=1に合うか確認する
例
- 場面
- Sₙ=n²+2n のときaₙを求める。
- 順に考えると
- a₁=S₁=3。n≥2では、aₙ=(n²+2n)-{(n-1)²+2(n-1)}=2n+1です。n=1でも3になり、a₁と合います。
- ここが結論
- 一般項はaₙ=2n+1です。
注意
Sₙをaₙと思わない
要点
和と項を分けて読む
Sₙは合計、aₙは1つの項です。この区別ができると、Sₙ-Sₙ₋₁が最後の1項だけを残す操作だと分かります。
- 1
Sₙは合計
- 2
aₙは1つの項
- 3
n=1は別に見る
- 4
差分で最後を出す
比較
| 見る点 | 正しい読み | よくあるずれ |
|---|---|---|
| Sₙ | 第n項までの和 | 第n項そのものとする |
| Sₙ₋₁ | 1つ前までの和 | nをただ消す |
| aₙ | 増えた最後の1項 | Sₙをそのまま答える |
見る点Sₙ
- 正しい読み
- 第n項までの和
- よくあるずれ
- 第n項そのものとする
見る点Sₙ₋₁
- 正しい読み
- 1つ前までの和
- よくあるずれ
- nをただ消す
見る点aₙ
- 正しい読み
- 増えた最後の1項
- よくあるずれ
- Sₙをそのまま答える
第1項だけは差分式の前に直接確認します。ここを省くと答案の条件が不足しやすくなります。
要点
Sₙからaₙを出す答案
部分和Sₙは合計、aₙは最後に増えた1項です。n=1だけはa₁=S₁で確認し、n≥2ではSₙ-Sₙ₋₁を使います。 Sₙの式だけを答えにせず、最後に取り出したaₙを答えとして書きます。 a₁だけ別確認が必要な問題では、n≥2の式と同じになるかを最後に比べます。
- 1
S₁でa₁を出す
- 2
n≥2で差を取る
- 3
Sₙとaₙを混同しない
- 4
n=1にも合うか確認
確認
確認テスト
Q1
Sₙ=n² のとき、n≥2でaₙを表す式はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
Sₙは第n項までの和
- 2
a₁はS₁で確認
- 3
n≥2はSₙ-Sₙ₋₁
- 4
最後にn=1を見直す
- 5
答えはSₙではなくaₙ
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