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等比数列の公比と一般項
一定の比を式にする
等比数列は、隣り合う項に同じ数を掛けて進む数列です。公比を何回掛けたかが指数になるため、n-1の意味を丁寧に読みます。
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定義
等比数列と公比
- 教科書では
- 隣り合う項の比が一定である数列を等比数列といい、その比を公比といいます。
- 言いかえると
- 公比は、次の項へ進むときに掛ける数です。第1項から第n項へ進むまでに、公比を掛ける回数はn-1回です。
公式
等比数列の一般項
初項a、公比rのときに使います。
一般項
an = arn-1
初項aに、公比rをn-1回掛けます。
- a初項
- r公比
- n項番号
使うときのコツ
n=1ならr⁰=1で初項aになります。
解くコツ
差ではなく比が一定かを先に確認します。
要点
見る順番
等差数列と似ていますが、足すのではなく掛ける変化です。
- 1
隣り合う比を見る
- 2
初項aを決める
- 3
公比rを決める
- 4
指数はn-1
例
- 場面
- 初項2、公比3の等比数列で第6項を求める。
- 順に考えると
- 公式にa=2, r=3, n=6を入れます。a₆=2×3⁵=486です。第6項でも、公比を掛けるのは5回です。
- ここが結論
- 第6項は486です。
注意
公比を足さない
要点
指数は掛けた回数
等比数列の指数は、項の番号そのものではなく、公比を掛けた回数です。第1項ではまだ掛けていないので0回です。
- 1
比が一定か調べる
- 2
初項を先に置く
- 3
公比は掛け算で読む
- 4
指数はn-1にする
比較
| 見る点 | 正しい読み | よくあるずれ |
|---|---|---|
| 公比r | 次へ進む倍率 | 差のように足す |
| rⁿ⁻¹ | 掛けた回数の記録 | 第n項だからrⁿにする |
| 第1項 | aだけで始まる | すでにrを掛ける |
見る点公比r
- 正しい読み
- 次へ進む倍率
- よくあるずれ
- 差のように足す
見る点rⁿ⁻¹
- 正しい読み
- 掛けた回数の記録
- よくあるずれ
- 第n項だからrⁿにする
見る点第1項
- 正しい読み
- aだけで始まる
- よくあるずれ
- すでにrを掛ける
等差数列のn-1と同じく、等比数列でも第1項からの移動回数を読むことが大切です。
要点
等比数列の答案
初項、公比、何番目かを分けて書きます。第n項では公比をn-1回掛けるので、指数がnかn-1かを必ず確認します。 指数を一つ小さくする理由は、初項を0回目として数えるためだと確認します。 公比が分数や負の数でも、隣り合う項の比として同じように読みます。 公比を求めたら、2項目から3項目でも同じ比になるかを見ます。
- 1
初項aを読む
- 2
公比rを求める
- 3
指数はn-1
- 4
代入して最初の項を確認
確認
確認テスト
Q1
初項4、公比2の等比数列の一般項はどれですか。
まとめ
まとめ
- 1
等比数列は比が一定
- 2
公比は次へ進む掛け算
- 3
一般項はarⁿ⁻¹
- 4
第1項で公式を確認する
- 5
初項は公比を0回掛けた項
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