等比数列の和

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イントロ

倍々の和を一気に求める

等比数列の和は、和全体を公比倍して引くと中間の項が消えます。公式の形を覚えるだけでなく、どの項が残るかを見ます。

定義

等比数列の部分和

教科書では: 等比数列の第1項から第n項までを足した和をSₙと表します。
言いかえると: 公比rが1でないとき、SₙとrSₙを比べると、中間の項がそろって消えます。端に残る項から公式が出ます。

公式

等比数列の和

r≠1のとき、どちらか使いやすい形を選びます。

rⁿ-1型

S_n = a(rⁿ-1)(r-1)

r>1の計算で使いやすい形です。

使うときのコツ

分子と分母の向きをそろえます。

1-rⁿ型

S_n = a(1-rⁿ)(1-r)

同じ公式を符号違いで書いた形です。

使うときのコツ

r=1ならこの公式は使いません。

解くコツ

初項a、公比r、項数nを先に書きます。

手順

解く手順

1
初項aを読む
2
公比rを読む
3
項数nを読む
4
公式の形をそろえて代入する

例

場面: 2+6+18+54+162 の和を求める。
順に考えると: 初項2、公比3、項数5です。S₅=2(3⁵-1)/(3-1)=2×242/2=242。公比が3なので、rⁿ-1型を使うと符号が見やすくなります。
ここが結論: 和は242です。

比較

形	使うとき	注意
rⁿ-1	r>1で見やすい	分母はr-1
1-rⁿ	0<r<1で見やすい	分母は1-r
r=1	全項が同じ	公式不可

形rⁿ-1

使うとき: r>1で見やすい
注意: 分母はr-1

形1-rⁿ

使うとき: 0<r<1で見やすい
注意: 分母は1-r

形r=1

使うとき: 全項が同じ
注意: 公式不可

どちらの形も同じ内容です。分子と分母の向きを混ぜないことが大切です。

注意

符号を混ぜない

要点

公式形をそろえる

等比数列の和は、分子と分母の向きがそろっていれば同じ内容です。途中で形を混ぜると、符号だけが反対になります。

1
初項aを書く
2
公比rを書く
3
項数nを書く
4
分子と分母をペアで選ぶ

比較

見る点	正しい読み	よくあるずれ
rⁿ-1型	分母はr-1	分子だけ1-rⁿにする
1-rⁿ型	分母は1-r	分母だけr-1にする
r=1	全項が同じ和	分母0の公式へ入れる

見る点rⁿ-1型

正しい読み: 分母はr-1
よくあるずれ: 分子だけ1-rⁿにする

見る点1-rⁿ型

正しい読み: 分母は1-r
よくあるずれ: 分母だけr-1にする

見る点r=1

正しい読み: 全項が同じ和
よくあるずれ: 分母0の公式へ入れる

公比の値を見て使いやすい形を選びますが、選んだ形は最後までそろえて使います。

要点

等比数列の和の答案

等比数列の和では、公比が1かどうかで式が変わります。初項・公比・項数を決め、公式に入れた後に項数分だけ足しているかを見ます。

1
初項と公比を読む
2
項数nを確定する
3
r=1か確認する
4
和の範囲を言葉に戻す

確認

確認テスト

初項2、公比3、項数4の等比数列の和はどれですか。

まとめ

1
等比の和は公比倍して引く
2
初項・公比・項数を読む
3
r=1では公式を使わない
4
分子と分母の向きをそろえる

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この流れのまま学習を広げる

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

数列とその和

等差数列と等比数列の見分け方

隣り合う項の差と比を調べ、等差数列・等比数列・どちらでもない数列を見分けます。公式選択の入口を固めます。