規則をΣで表す

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イントロ

1個分と合計を分ける

Σは計算だけでなく、規則的な合計を表す記号です。まず1個分の項の式を作り、次に何番目から何番目まで足すかを決めます。

定義

教科書では: 項の式は1つの値を表し、Σを付けた式はそれらの合計を表します。
言いかえると: たとえば奇数列の第k項は2k-1です。最初のn個を足すなら、2k-1をk=1からnまで足す形にします。第n項と、そこまでの合計は別物です。

手順

例

場面: 奇数列1,3,5,...の最初のn個の和をΣで表す。
順に考えると: 第k項は2k-1です。最初のn個なのでkは1からnまで動きます。したがってΣの下をk=1、上をn、中身を2k-1にします。展開すると1+3+5+...+(2n-1)に戻ります。
ここが結論: 2n-1は最後の1項、Σを付けた式は合計です。

注意

要点

Σで表す問題では、いきなり合計式を作ろうとしないことが大切です。まず第k項という1個分の式を作り、それを範囲ごと足します。

比較

見る点第k項

見る点Σの範囲

見る点n

最後の項を表す式と、最初から最後までの和を表す式は役割が違います。

要点

Σでは、1個分の式、動く文字、足す範囲の3つが採点ポイントになります。最後の項だけを書いていないか、展開して最初の2項で確認します。最後にΣを展開して、最初と最後の項が問題文の列に戻るか確認します。

要点

完成したΣは、展開して最初の2項が元の列に戻るかを確認します。最後の項だけ合っていても、動く文字や始まりがずれていることがあります。

確認

奇数列1,3,5,...の最初のn個の和を表す式はどれですか。

まとめ

次に進む

理解がつながる順で、次のトピックへそのまま進めます。

等差的な係数と等比的な変化が混ざる和を、r倍してずらし引く考えで整理します。端の項の読み方も確認します。