平行・垂直な直線

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イントロ

傾きで関係を読む

直線どうしの平行・垂直は、傾きを見ると式から判断できます。垂直では、符号と逆数をセットで確認します。

定義

平行・垂直な直線

教科書では: 平行な直線は交わらず、垂直な直線は直角に交わります。
言いかえると: 傾きがある直線どうしでは、平行なら傾きが同じです。垂直なら傾きの積が -1 になります。

公式

傾きの条件

傾き m1, m2 で直線どうしの関係を見ます。

平行

m1=m2

傾きが同じなら平行です。

垂直

m1m2=-1

傾きの積が -1 なら垂直です。

使うときのコツ

符号を変えて逆数

解くコツ

縦の直線と横の直線は特別に垂直です。

要点

判断の合図

平行・垂直はグラフの見た目だけでなく、傾きの数の関係で判断します。候補の傾きを取り出してから比べます。

1
平行は傾きをそのまま使う
2
垂直は符号を変えて逆数
3
積が -1 か確認する

比較

関係	傾き	例
平行	同じ	2 と 2
垂直	積が -1	2 と -1/2
縦と横	例外	x=1 と y=3

関係平行

傾き: 同じ
例: 2 と 2

関係垂直

傾き: 積が -1
例: 2 と -1/2

関係縦と横

傾き: 例外
例: x=1 と y=3

普通の傾きで判断できない縦線だけ、別に扱います。

要点

傾きの関係を読む

平行・垂直では、直線の位置そのものではなく傾きの関係を見ます。垂直は「符号を変える」と「逆数にする」の両方が必要です。とくに縦線と横線は、傾きの式だけで無理に処理しないようにします。

1
平行は傾きが同じ
2
垂直は傾きの積が -1
3
縦線と横線は特別に扱う
4
候補の傾きを掛けて確認

例

場面: y=2x+1 に垂直で、点 (0,3) を通る直線を求める。
順に考えると: もとの直線の傾きは2です。垂直な直線の傾きは、積が-1になる -1/2。点 (0,3) を通るので、直線は y=-1/2x+3 です。
ここが結論: 垂直では、符号を変えるだけでなく逆数にします。最後に 2×(-1/2)=-1 を確認します。

手順

答えの確かめ方

1
2直線の傾きを取り出す
2
平行なら傾きが同じか見る
3
垂直なら積が -1 か計算する
4
縦線・横線の例外を確認する
5
求めた直線が指定点を通るか代入する

要点

垂直条件の読み替え

傾き2に垂直な傾きは -2 ではありません。直角に交わるためには、傾きの積が -1 になる必要があります。

1
符号だけでは不十分
2
逆数だけでも不十分
3
積で最終確認する
4
図の直角と式を対応させる

注意

符号だけでは足りない

確認

確認テスト

傾き 3 の直線に垂直な直線の傾きはどれですか。

まとめ

1
平行は傾きが同じ
2
垂直は傾きの積が -1
3
縦線と横線は特別に扱う
4
候補の傾きを取り出してから判断する
5
積で確かめる習慣を持つ

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図形と方程式

点と直線の距離

点と直線の距離公式を、最短距離の意味と係数の代入手順から理解し、符号や絶対値の扱いまで確認します。